Variedad de pruebas de una proposición simple en aritmética

Question

Tengo un par de pruebas simples de una proposición simple y tengo la curiosidad de ver la variedad de enfoques diferentes a los demás tendría que demostrar la misma cosa.

Definición: La dilatación de una secuencia $a_1, a_2, a_3,\ldots$ por un factor de $n$ es la secuencia de las $b_1,b_2,b_3,\ldots$ para los que $$ \begin{cases} b_{kn} = a_k & \text{for } k=1,2,3,\ldots, \\ b_j = 0 & \text{if %#%#% is not a multiple of %#%#%.} \end{casos} $$ Así, la dilatación de $j$ por un factor de $n$ es $$ 0,\ 0,\ a_1,\ 0,\ 0,\ a_2,\ 0,\ 0,\ a_3,\ 0,\ 0,\ a_4,\ \ldots $$ (Esta no es la terminología estándar que yo sepa, así que dime si hay un nombre para esto.)

Ahora vamos a $a_1,a_2,a_3,\ldots$ consisten de una secuencia infinita de repeticiones de $3$ ($\{a_k\}_{k=1}^\infty$$1,0,0,0,1,0$st $\text{"}1\text{''}$th posiciones y $1$ en otros lugares). En otras palabras $5$ es sólo el indicador de $\text{"}0\text{''s}$ es coprime a $a_k$.

Ahora comience por dejar $k$ ser una secuencia infinita de $6$s y proceda de la siguiente manera:

1. Deje $c$ ser el más pequeño índice para que $0$ (por lo tanto inicialmente $n$);

2. Deje que el nuevo valor de $c_n=0$ $n=1$ (donde la ocurrencia de $c$ dentro del paréntesis es el valor de $(c + \text{the dilation of } a \text{ by } n)$ que había en el extremo de paso $c$.);

3. Volver al paso a $c$.

Esto va para siempre.

La proposición: Este proceso converge a una secuencia infinita de $1$s. (Por lo tanto, nunca hemos de añadir $1$ a cualquier posición que no era la $1$.)

Como ya he dicho, tengo un par de pruebas simples y tengo curiosidad por ver la variedad de enfoques diferentes a los demás tendría que demostrar la misma cosa.

Answer 1

Deje $A$ el conjunto de los números cuyos factores primos son en $\{2;3\}$ $B$ el conjunto de los números cuyos factores primos no están en $\{2;3\}$.

El teorema fundamental de la aritmética implica que (como multiplicativo monoids) $\Bbb N = A \times B = \bigcup_{a \in A} aB$ $\Bbb N$ se puede dividir en dilataciones de $B$ (o en dilataciones de $A$ también, pero ese no es el punto aquí)

Así que tenemos que demostrar que con su procedimiento obtenemos exactamente las dilataciones, en el mismo orden : que $a \in A$ si y sólo si $a$ no $a'B$ algunos $a' < a$, pero esto es fácil :

si $a \in A$ $a$ $aB$ pieza y no de cualquier otra pieza.
Si $a$ no es de la forma$a'b$$b>1$, ya que también puede no ser$a'.b$$a'>a$, su descomposición tiene que ser$a=a.1$$a \in A$.

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Curiosamente, si $\Bbb N = A \times B$ para algunos submonoids $A$$B$, esto muestra que $B$ está totalmente determinado por $A$ (y viceversa)