Me preguntaba si hay una forma cerrada de la fórmula para la fuerza entre dos masas de $m_1$ $m_2$ si los efectos relativistas son incluidos. Mi entendimiento es que la fórmula clásica $G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ es sólo una aproximación (que es lo suficientemente bueno para, probablemente, ni siquiera se va a la Luna), pero ¿qué sería de la "correcta" la fórmula que ser de acuerdo a la teoría general de la relatividad? Hace un cerrado fórmula siquiera existen? Por ejemplo, para una visión idealizada de la situación de sólo dos masas esféricas con la homogénea distribución de la masa?
Respuestas
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Peor que la electrodinámica, la relatividad general no es lineal, en el sentido de que el campo de múltiples fuentes no es sólo la suma de los campos de cada uno de los aislados de origen. Incluso el simple caso de que usted está preguntando acerca de, que es el de dos cuerpos problema en la relatividad general, no ha sido resuelto exactamente.
Incluso un caso más sencillo es el límite de $m_2 \to 0$. En ese caso sólo $m_1$ afecta la geometría del espacio-tiempo, y $m_2$ sigue una geodésica en que el espacio-tiempo. Esto ha sido resuelto exactamente. El artículo enlazado da detalles.
[Adición] A responder directamente a la pregunta original, para el límite de $m_2 \to 0$:
Por supuesto, si $m_2=0$, entonces la fuerza entre las dos masas es $0$. Pero la cosa acerca de la clásica de la gravedad es que la aceleración debida a la gravedad es independiente de la masa. (Este es el principio de equivalencia y de hecho es uno de los puntos de partida de la teoría de la relatividad general.) Por lo que todavía tiene sentido preguntar cuál sería la aceleración de una masa despreciable (aka, una prueba de cuerpo) debido a la gravedad de la otra masa. La clásica respuesta es $a_2 = \frac{Gm_1}{r^2}$.
En la relatividad general, la aceleración de un cuerpo de prueba debido a la gravedad de una sola esférica y homogénea, no la masa de rotación está dada exactamente por la solución de Schwarzschild, que enlace se puede consultar para más detalles. El resultado de esto es que
$$\ddot{r} = -\frac{Gm_1}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{3Gm_1}{c^2}\dot{\theta}^2$$ $$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$$ [CORREGIDO Y SIMPLIFICADO Jan 2]
donde $r$ $\theta$ son polares coordenadas centrado en la masa atractiva, los puntos representan la diferenciación por el tiempo apropiado de la prueba del cuerpo.
Así que el primer término es sólo el clásico radial de la aceleración de $-\frac{Gm_1}{r^2}$. Los términos de $r\dot{\theta}^2$ $-\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$ son los clásicos centrífuga y de Coriolis aceleración para polares coordenadas.
Lo que no clásica es el plazo adicional $\frac{3Gm_1}{c^2}\dot{\theta}^2$. Por último, está el hecho de que la diferenciación es con respecto a la adecuada tiempo de la prueba del cuerpo. Prueba diferentes organismos de la experiencia tiempo de manera diferente. Éstas pueden estar relacionadas con:
$$(1 - \frac{r_s}{r})\dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{(1 - \frac{r_s}{r}) c^2} - \frac{r^2\dot{\theta}^2}{c^2} = 1$$
La constante $r_s = \frac{2Gm_1}{c^2}$ es introducido por la simplicidad. Se llama el radio de Schwarzschild de la masa atractiva.
Aquí el coordinar $t$ se presenta como un tiempo de referencia, por lo $\dot{t}$ es la tasa de cambio de referencia de tiempo con respecto al tiempo apropiado de la prueba del cuerpo. Para un distante ($r \to \infty$), papelería ($\dot{r}=0, \dot{\theta}=0$) prueba del cuerpo, este se convierte en $\dot{t} = 1$, por lo que el tiempo de referencia puede ser interpretado como el tiempo medido en un lejano, papelería reloj.
En el caso clásico de curso de cada cuerpo, de experiencias al mismo tiempo, pero también puede ser comparado con el especial caso relativista, donde la ecuación sería:
$$\dot{t}^2 - \frac{\dot{r}^2}{c^2} - \frac{r^2\dot{\theta}^2}{c^2} = 1$$
Entonces, ¿qué hay de nuevo en la relatividad general es el factor de $(1 - \frac{r_s}{r})$. Para hacernos una idea de la escala, de la Tierra, $\frac{r_s}{r}$ es de alrededor de una y media partes por mil millones en la superficie de la Tierra. (Nota de la solución de Schwarzschild sólo es aplicable fuera de la gravitando cuerpo.)
Este es exacta sólo para $m_2 \to 0$, pero sigue siendo una muy buena aproximación tan largo como $m_2$ es mucho menor que $m_1$, como el de un planeta en órbita alrededor de una estrella.
shingara
Puntos
111
Sí, el no-relativista de la ecuación de movimiento
$$\frac{dp}{dt} = F = -\frac{G m_1 m_2}{r^2}$$
para una sola de las partículas que interactúan gravitacionalmente con otros sólo es válida para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz y lo suficientemente pequeño como para las masas. Observe el signo menos en la expresión de la no-relativista de la fuerza F --la gravitación es atractivo -.
Primero, la relatividad general es un (geo)de la métrica de la teoría. No hay fuerzas gravitacionales en la relatividad general. En la relatividad general, los órganos afectados sólo por la acción de la gravedad se mueve libremente, pero en una curva el espacio-tiempo
El general relativista de la ecuación de movimiento de un cuerpo es la ecuación geodésica
$$\frac{DP^\mu}{D\tau} = 0$$
Nota: el cero a la derecha, que es una consecuencia de la ausencia de las fuerzas gravitacionales en la relatividad general. El griego índices de ejecutar más de 0,1,2,3 --las coordenadas de espacio-tiempo-y el convenio de sumación de que está siendo usado. $P^\mu$ es el de cuatro impulso, $\tau$ el momento adecuado y $D$ denota la derivada covariante, que incluye los efectos debidos a la curvatura del espacio-tiempo
$$\frac{DP^\mu}{D\tau} = \frac{dP^\mu}{d\tau} + \Gamma_{\nu\lambda}^\mu U^\nu P^\lambda$$
donde $\Gamma_{\nu\lambda}^\mu$ son los símbolos de Christoffel y $U^\nu$ a las cuatro de la velocidad.
Segundo, el campo de la teoría de la gravedad es una no-descripción geométrica de la gravedad. Hay fuerzas gravitacionales en el campo de la teoría. En esta teoría, los órganos afectados sólo por la acción de la gravedad se mueve en un plano espacio-tiempo --a veces, esto se denomina el plano espacio-tiempo de aproximación a la gravitación-- pero siento una fuerza gravitacional asociada a gravitones
El campo de la teoría de la ecuación de movimiento de un cuerpo en un campo gravitatorio es la ecuación de Kalman
$$A_\mu^\nu \frac{dP^\mu}{d\tau} = F^\nu = - B_{\mu\lambda}^\nu U^\mu P^\lambda$$
donde $F^\nu$ es exactamente la fuerza gravitacional con
$$A_\mu^\nu = \left( 1 - \frac{1}{c^2} \psi_{\lambda\gamma} U^\lambda U^\gamma \right) \eta_\mu^\nu - \frac{2}{c^2} \psi_{\mu\gamma} U^\gamma U^\nu + \frac{2}{c^2} \psi_\mu^\nu$$
y
$$B_{\mu\lambda}^\nu = \frac{2}{c^2} \psi_{\mu,\lambda}^\nu - \frac{1}{c^2} \psi_{\mu\lambda}^{,\nu} - \frac{1}{c^2} \psi_{\mu\lambda,\gamma} U^\gamma U^\nu$$
Aquí $\psi_{\alpha\beta}$ es el campo gravitacional potencial y la coma indica el ordinario plano espacio-tiempo en derivadas parciales.
David J. Sokol
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Michael John
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