Generalización del teorema primero del número para $\sum_{p\leq x}p^{m+1}$

Question

Posible duplicado:
¿Cómo $ \sum_{p\lt x} p^{-s} $ crece asintóticamente $ \mathrm{Re}(s) \lt 1 $?

desde el número del primer teorema es posible tener

$$ \sum_{p \le x}\: x^{m} = \frac{ \text{Li}\: (x^{m+1})}{m+1} $$ ?

aquí ' Li' es la logarítmica integral $ \int_{2}^{\infty} \frac{dt}{logt} $

válido para m > -1 en el caso m = 0 recuperamos el teorema del número primo generalmente.

Answer 1

Supongo que querías decir $\sum_{p\leq x} p^m$ desde $\sum_{p\leq x} x^m=x^m \pi(x)$. En este caso al $\text{Re}(s)>-1$ hemos $$\sum_{p\leq x}p^{s}=\text{li}\left(x^{1+s}\right)+O\left(\frac{x^{1+s}}{1+s}e^{-c\sqrt{\log x}}\right)$$ where the error is uniform over $s$. Esto se deduce de la suma parcial y el teorema de los números primos, por favor , consulte esta respuesta.

Edit: Como se ha mencionado en los comentarios, la parte real de la $s$ debe ser mayor que el $-1$ ya que la suma converge cuando se está a menos de $-1$, y actúa diferente cuando es igual a $1$. (Specfically necesitamos ese $1+s>0$ $\text{li}(x^{1+s})$ plazo contribuye.