Sea G un grupo con exactamente dos subgrupos apropiados no triviales. Demostrar que G es cíclico. ¿Cuáles son las posibles órdenes de G?

Question

Sea G un grupo con exactamente dos trivial adecuada de los subgrupos. Demostrar que G es cíclico. ¿Cuáles son los posibles órdenes de G?

Prueba:

Suponga que G no tiene subgrupos no triviales.
Debido a que G es trivial por el supuesto anterior, entonces G es cíclico.

Si G tiene exactamente un trivial subgrupos H, considerar el subgrupo generado por un nonidentity elemento de g en g/H

Ahora supongamos que H y K son los únicos que no son triviales subgrupos de G. Recordemos que un grupo nunca es la unión de dos subgrupos adecuada....

(De arriba es el inicio que tengo con mi prueba. Me refugio;t terminado demostrando que es un grupo cíclico y no puedo entender cómo encontrar lo que el posible orden puede ser.)

Answer 1

Sea $H, K$ los dos subgrupos no trivial de $G$.

Como usted ha dicho, no podemos tener $H \cup K =G$. Por lo tanto, debe existir un $x \in G \backslash (H \cup K)$.

$x \neq e$ Son las posibilidades solamente de $<x>$ $H,K$ o $G$. Puesto que los dos primeros no son posibles, debemos $<x>=G$.

Para completar la prueba, tenga en cuenta que para un grupo cíclico de orden $n$, existe un subgrupo de orden $d$ para cada $d|n$. Así que la pregunta que figura todos los $n$ que tiene exactamente $2$ divisores no triviales.

Answer 2

Este es el ejercicio 35 en ejercicios adicionales para el capítulo 1-4 en Gallian Contemporáneo del Álgebra Abstracta.

Las posibilidades de $|G|$ $pq$ $p^3$ para algunos de los números primos $p,q$.

Para ver esto consideremos un grupo de $G$ con exactamente dos no trivial adecuada subgrupos y deje $g\in G \setminus \{e\}$. A continuación, $\langle g \rangle$ es un subgrupo. Si $\langle g \rangle = G$ $G$ es cíclico.

Si $\langle g \rangle \subsetneq G$ deje $h \in G\setminus \langle g \rangle$. A continuación, de nuevo $\langle h \rangle $ es un subgrupo y si $\langle h \rangle = G$ $G$ es cíclico. Si $\langle h \rangle \subsetneq G$ nota de que desde $\langle g \rangle \cup \langle h \rangle \subsetneq G$ hay $x \in G \setminus \langle g \rangle \cup \langle h \rangle$. Desde $\langle x \rangle$ es un subgrupo que no es igual a $\langle g \rangle$ o a $\langle h \rangle $ debe ser verdad que $\langle x \rangle = G$ por lo tanto $G$ es cíclico.

Ahora hemos demostrado que la $G$ es cíclico. La reclamación sobre el orden de las $G$ es una consecuencia directa del hecho de que en un grupo cíclico hay un subgrupo para cada divisor del orden del grupo.

Answer 3

Aplicando el teorema de Sylow, debe ser del orden de $G$ $pq$ % números primos $p$y $q$, $p, q\neq 1$, $p\neq q$. Que $H_p$, $H_q$ ser el subgrupo con orden $p$ y $q$ respectivamente. Son isomorfos a $\mathbb Z_p$ y $\mathbb Z_q$ respectivamente. Que $a$ $b$ ser un generador de $H_p$ y $H_q$ respectivamente. Entonces no es en $ab$ $H_p \cup H_q$. Así $ab$ tiene orden $pq$. Esto implica $G = \langle ab\rangle$.