Por qué es reducible el polinomio $2x^2 + 4$ $\mathbb{Z}$

Question

Yo estaba pasando por el libro de Gallian, Álgebra abstracta contemporáneay obtuvo el siguiente resultado:

El polinomio $f(x) = 2x^2 + 4$ es irreducible en $\mathbb{Q}$ pero reducible $\mathbb{Z}$, $2x^2 + 4 = 2(x^2 + 2)$ y ni $2$ ni $x^2 + 2$ es una unidad en $\mathbb{Z}[x]$.

No estoy poniendo como el polinomio es reducible $\mathbb Z$. ¿Alguien puede explicarme este punto? Gracias por la ayuda.

Answer 1

El elemento $2$ es una unidad en $\mathbb Q[x]$ (tiene inversa $\frac 12$) pero no en $\mathbb Z[x]$ (desde $\frac 12\notin \mathbb Z[x]$). Podemos escribir $$f(x) = 2(x^2+2).$$Since a polynomial $f$ is reducible iff it can be written as the product of two non-units, this means that $f$ is reducible in $\mathbb Z[x]$. However, this factorisation does not show that $f$ is reducible in $\mathbb Q[x]$ since $2$ is a unit. One can show in other ways (e.g. because $f$ has no rational roots) that $f$ is irreducible over $\mathbb Q$.

Esta condición no es arbitraria: significa que el % ideal $(2x^2+4)$prime en $\mathbb Q[x]$ (y es igual a la máxima ideal ($x^2+2)$), pero no es principal en $\mathbb Z[x]$, $2x^2+4\in(2x^2+4)$ y $$2,x^2+2\notin (2x^2+4).$ $