Cómo encontrar la solución de esta EDO $f''(x)=f(x)(1+2\tan^2{x})$

Question

Pregunta:

Encuentra la solución de la EDO: $$f''(x)=f(x)(1+2\tan^2{x})$$

tal $f(0)=0$

Mi idea: dejar que $y=f(x)$ entonces $$y''=y(1+2\tan^2{x})$$ $$\Longrightarrow \dfrac{y''}{y}=1+2\tan^2{x}$$

y encontré el uso del lobo : http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%3Dy%281%2B2tan%5E2x%29&dataset=

Ahora ¿Cómo se puede encontrar esta solución? a mano? Gracias

Answer 1

Dejemos que $y(x)=\sec{(x)}\,v(x)$ . Diferenciación,

$$y'=\sec{(x)}\,v'+\sec{(x)}\tan{(x)}\,v=\sec{(x)}\left(v'+\tan{(x)}\,v\right),$$

y,

$$y''=\sec{(x)}\left(v''+2\tan{(x)}\,v'+(1+2\tan^2{x})v\right).$$

Sustituyendo las derivadas anteriores en la EDO de $y(x)$ , $y''=(1+2\tan^2{x})y$ llegamos a una EDO para $v(x)$ :

$$\sec{(x)}\left(v''+2\tan{(x)}\,v'+(1+2\tan^2{x})v\right)=\sec{(x)}(1+2\tan^2{x})v\\ \implies v''+2\tan{(x)}\,v'+(1+2\tan^2{x})v=(1+2\tan^2{x})v\\ \implies v''+2\tan{(x)}\,v'=0.$$

La solución general del PIV $v''+2\tan{(x)}\,v'=0, v(0)=0$ se encuentra fácilmente

$$v'(x)=c_1\cos^2{(x)}\\ \implies v(x)=\frac12c_1(x+\sin{(x)}\cos{(x)}).$$

Por lo tanto,

$$\begin{align} y(x)&=\sec{(x)}\,v(x)\\ &=\frac12c_1\sec{(x)}\,(x+\sin{(x)}\cos{(x)})\\ &=\frac12c_1(x\sec{(x)}+\sin{(x)}). \end{align}$$

Answer 2

Mi idea:

Se trata de una EDO de coeficientes variables de 2º orden. Podemos resolverla por la inspiración de la EDO de coeficientes constantes que adivina $y=Ce^{f(x)}$ . Introduciéndolo en su ODE obtenemos: $$ Cf''(x)e^{f(x)}+C(f'(x))^2e^{f(x)}=Ce^{f(x)}(1+2\tan(x)^2)\\ f''(x)+(f'(x))^2=1+2\tan(x)^2\qquad (1) $$ Una vez $f(x)$ se han resuelto, el problema se ha resuelto también. Tenga en cuenta que $(1)$ se puede resolver mediante la ecuación de Bernoulli con la sustitución $f'(x)=u(x)$ . Entonces $(1)$ es reescrito por: $$ u'(x)+u(x)^2=1+2\tan(x)^2\qquad(2) $$ Se trata de una Ecuación de Bernoulli no homogénea y creo que no es difícil resolverla.

Además, una solución particular de $(2)$ es $u(x)=\tan(x)$ . Y la solución complementaria de la misma puede ser resuelta por un método fijo (ver Ecuación diferencial de Bernoulli ).

Answer 3

El arce 18 tiene una solución un poco más agradable: $$f \left( x \right) ={\frac {{\it \_C1}}{\cos \left( x \right) }}+{ \frac {{\it \_C2}\, \left( i\cos \left( x \right) \sin \left( x \right) +\ln \left( \cos \left( x \right) +i\sin \left( x \right) \right) \right) }{\cos \left( x \right) }} $$ Escribir $\ln(\cos(x) + i\sin(x))$ como $ix$ y absorbiendo el $i$ en la constante $\_C2$ la segunda solución es $ \sin(x) + x \sec(x)$ .