¿Cómo probar que el CDG de los números consecutivos de Fibonacci es 1?

Question

Posible duplicado:
Demostrar que dos términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci son relativamente primos

¿Cómo probarlo? ¿Puede ayudarme?

Deje que $f_n$ ser la Secuencia de Fibonacci. $$(f_{n},f_{n+1})=1, \quad \forall\ ,n \in\mathbb {N}.$$ Aquí $(a,b)$ es el mayor divisor común.

Answer 1

Podrías usar la inducción.

Primer espectáculo $(f_2,f_1) = 1$ . Entonces para $n \geq 2$ asume $(f_n,f_{n-1}) = 1$ . Usa esto y la recursividad $f_{n + 1} = f_n + f_{n - 1}$ para mostrar $(f_{n + 1},f_n) = 1$ .

Answer 2

Si un $d \in\mathbb {N}$ divide $f_n$ y $f_{n+1}$ Entonces $d$ divide también la diferencia de estos dos, $f_{n+1}-f_n=f_{n-1}$ . Entonces usando $f_n-f_{n-1}=f_{n-2}$ tenemos $d \mid f_{n-2}$ . Repitiendo este argumento una y otra vez, conseguiremos $d \mid f_{n-3}$ , $d \mid f_{n-4}$ y al final, $d \mid f_{1}$ . Pero $f_1=1$ Por lo tanto $d=1$ .

Answer 3

Pista: Algoritmo euclidiano y la definición recursiva de la secuencia de Fibonacci.

Answer 4

Pista $\ $ Ponga $ \rm\ :a_n = 1 = b_n\:$ en el resultado mucho más general que aparece a continuación.

Teorema $\ $ Si $ \rm\ :( \color {#c00}{b_n,\,f_n}) = 1\:$ y $ \rm\ :f_{n+1} = a_n f_n + b_n f_{n-1}\:$ entonces $ \rm\ :(f_{n+1},\,f_n) = (f_1,\,f_0).$

Prueba $\ $ Despeja si $ \rm\ :n = 0.\:$ Si no, por Euclides y la inducción tenemos

$$ \rm\ ,(f_{n+1},\,f_n) = (a_n f_n\! +\! \color {}{b_n} f_{n-1},\,f_n) = ( \color {#c00}{b_n} f_{n-1},\, \color {#c00}{f_n}) = (f_{n-1},\,f_n) = (f_1,\,f_0)\,$$

Observación $\ $ Del mismo modo se puede probar mucho más generalmente que los números de Fibonacci $ \rm\ :f_n\:$ comprenden un fuerte secuencia de divisibilidad: $ \rm\ :(f_m,f_n) = f_{(m,n)},\:$ es decir. $ \rm\ :gcd(f_m,f_n) = f_{ \gcd (m,n)}.\:$ El suyo es el caso especial $ \rm\ :m=n\!+\!1.\:$