Sea $f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ % s.t. diferenciable $f(x/2)=f(x)/2, \forall x \in \mathbb{R}^m$. Muestran que $f$ es lineal.

Question

Básicamente, no estoy muy seguro de cómo empezar.

Pensé en ir a través de la inducción para $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Q}$, utilizar la totalidad de $\mathbb{R}$, pero creo que es un camino largo.

Estoy seguro que hay un acceso directo. ¿Me podrias ayudar?

Answer 1

Inducción nos dice que $f(2^k x) = 2^k f(x)$ % todos $k \in \Bbb N$. $f$ Es diferenciable en el origen, para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos un $\delta > 0$ tal que $$|x|<\delta \implies\frac{|f'(0)\cdot x - f(x)|}{|x|} \le \epsilon.$$ Replace $x $ with $2 ^ k x$ y uso nuestro primer dato a obtener

$$|x| < 2^k \delta \implies \frac{|f'(0)\cdot x - f(x)|}{|x|} \le \epsilon.$$

Dado así $x$ y $\epsilon$, siempre podemos elegir $k$ suficientemente grande que la primera desigualdad es cierto, y el segundo es verdadero para todos los $x$ y $\epsilon$, así que tenemos $$f(x) = f'(0) \cdot x,$ $ una función lineal.

Answer 2

Tomar la derivada parcial de la ecuación de $f(x/2) = f(x)/2$ y cancelar el $\frac{1}{2}$ que aparece en ambos lados:

$$\partial_if(x/2) = \partial_if(x)$$

Ahora, si usted asume también, que $f$ es continuamente diferenciable, aplicando esto a $x/4$, $x/8$,... tienes

$$\partial_i f(x) = \lim_{k\to\infty}\partial_if(x/2^k) = \partial_i f(0).$$

Por lo tanto cada derivada parcial es una constante. Por lo tanto, $f$ es lineal.

Answer 3

Las hipótesis implican que el $f(0)=0$. Poner $df(0)=:A$. El % de la función auxiliar $g(x):=f(x)-Ax$satisface la ecuación funcional mismo; y en adición $dg(0)=0$. Fijar un punto arbitrario $x\in{\mathbb R}^m$. Entonces $$g(x)=2^n g\bigl(2^{-n}x\bigr)={g(2^{-n}x)-g(0)\over\bigl|2^{-n}x\bigr|}\>|x|\to0\qquad(n\to\infty)\ .$ $ sigue que $g(x)=0$. Como $x$ era arbitraria esta prueba $f=A$.