Prueba corta de que $X^2 = X \Rightarrow X^{100} = X$

Question

Dado que una matriz $X$ satisface $X^2 = X$ es claro que $X^{100}=X$ por multiplicación repetida de $X$. Algebraicamente, podríamos escribir:

$$X^{100} = (X^2)^{50}=X^{50}=(X^2)^{25}=X^{25}=X(X^2)^{12} = \dots = (X^2)^2 = X$$

Pero esto parece ser demasiado trabajo para un hecho tan simple. ¿Existe una prueba algebraica corta?

Answer 1

Es más fácil simplemente demostrar que $X^n = X$ por inducción; si $n = 1$, esto es claro. De lo contrario, asumimos que el resultado es verdadero para algún $n \geq 1$ y concluimos que

$$X^{n + 1} = X^{n} X = X X = X^2 = X$$

como se deseaba.

Answer 2

PISTA:

$$X^{n+2}=X^n\cdot X^2=X^n\cdot X=X^{n+1}$$

Ahora, si tenemos $f(n+1)=f(n),$ podemos decir directamente que $f(n+1)=f(1)$ para $n\ge0$

Answer 3

Bueno, dado que $X^2 = X$, es decir, $X$ es idempotente, la prueba inductiva estándar para idempotentes en cualquier anillo funciona: la hipótesis inductiva es $X^k = X$, entonces $X^{k + 1} = XX^k = XX = X^2 = X$. Tomemos $X^2 = X$ como caso base y listo, tenemos $X^n = X$ ya sea que $n = 10$, $n = 10^6$, o $n$ sea un millón o incluso más! ¡Qué divertido! ¡Saludos!