Es vector adición continua bajo normas arbitrarias

Question

Supongamos que $X$ es un espacio normado, y $X\times X$ es el espacio del vector con el vector suma y tal definió componente-sabio, equipado con alguna norma. ¿Entonces es continua $(x, y) \mapsto x + y$?

¿Sé que si la norma es justa $(x, y) \mapsto |x| + |y|$ entonces esto se satisface, pero lo que si hay alguna otra norma?

Answer 1

No, no se si elegir una norma sin relación sobre el producto.

Suponga que ya tenemos dos normas no topológicamente equivalente $|\cdot|_1$ y $|\cdot|_2$ $X$. Y además no pueden ser continuo si tomamos la norma inducida por $|\cdot|_1$ $X\times X$ y $|\cdot|_2$ $X$.

Answer 2

Si $X$ $\Bbb{R}$ es un espacio finito-dimensional del vector entonces cualquier dos normas en $X$ determinan la topología de la misma y adición de vector es continua con respecto a esa topología.

Si $X$ es dimensional infinito entonces diferentes normas en $X$ pueden dar distintas topologías en $X$ y no se pueden esperar vector además de ser continua si usted elige una norma arbitraria en $X \times X$.

Answer 3

No es cierto en general, supongamos que es cierto, tener en cuenta dos normas $\| \|_i, i=1,2$ define en $X$ y dotar a $X\times X$ $\|\|_2\times \|\|_2$. Set $f:X\times X\rightarrow (X,\|\|_1): f(x,y)=x+y$, $i:(X,\|\|_2)\rightarrow X\times X$ define en $i(x)=(x,0)$, tener en cuenta es seguir $i$ y $f\circ i=Id_X:(X,\|\|_2)\rightarrow (X,\|\|_1)$ es seguir. Un argumento similar implica que $Id_X:(X,\|\|_1)\rightarrow (X,\|\|_2)$ es continuar. Esto es equivalente a decir que $\|\|_1$ y $\|\|_2$ son equivalentes, (véase la respuesta aquí normas equivalentes ) un hecho que no siempre es cierto.