Lista finita de fórmulas no absolutas para cualquier conjunto

Question

Estoy teniendo algunos problemas con el ejercicio II.5.8 en Kunen (edición de 2013). El problema es:

Trabajo en $ZFC^-$ (es decir, sin Fundamento), además de la suposición de que $U:=\{x : x=\{x\}\}$ es una clase adecuada sin infinitos subconjuntos. Escribir una lista finita de fórmulas de $\phi_1, \ldots, \phi_n$ tal que no hay ningún conjunto de $C$ $\phi_1, \ldots, \phi_n$ absoluta en $C$.

Mi conjetura es que queremos elegir a$\phi_1, \ldots, \phi_n$, de modo que la asunción de ellos el ser absoluto, que indicarían que $ZFC^-$ demuestra consistencia propia. Sin embargo, no estoy seguro de cómo hacer esto. Gracias

Answer 1

Deje $\phi$ ser la afirmación de que $\omega$ existe y que por cada $n\in\omega$ hay un conjunto $A$ contiene $n$ distintos elementos $x$ que $x=\{x\}$.

Esta afirmación es verdadera, en virtud de su hipótesis, ya que se puede demostrar por inducción sobre $n$ que $U$ ha subconjuntos de tamaño $n$ por cada $n$. Pero esta afirmación no es verdadera cuando relativizada a cualquier conjunto $C$, para, a continuación, $C\cap U$ sería un subconjunto infinito de $U$, contrario a la hipótesis.

Permítanme señalar que si usted tiene la colección axioma en $\text{ZFC}^-$, entonces su teoría es inconsistente. La razón es que por cada $n\in\omega$, tendrá un conjunto $A\subset U$ del tamaño de la $n$, pero usted no será capaz de recoger estos, ya que daría lugar a un subconjunto infinito de $U$. Así que supongo que sólo usa el axioma de reemplazo, y no de la colección (y estos no son equivalentes sin fundamento), y esto va a romper muchos de los argumentos.