En un grupo con un orden lineal, si $a$ $b$ son dos elementos positivos, $a$ dijo ser infinitesimal con respecto a $b$, si no hay ningún número entero múltiplo de $a$ es mayor que $b$. A continuación, el orden lineal se llama Arquímedes si no hay elementos infinitesimales. Las dos primeras instrucciones que usted ha mencionado son fáciles de consecuencias de $\mathbb{R}$ de Arquímedes como un orden lineal:
Si $r$ es cualquier número real positivo, ya que $1$ no es infinitesimal con respecto a $r$ por el de Arquímedes de la propiedad, existe un número natural $n$ tal que $n.1=n> r$. Esta muestra $\mathbb{N}$ no está delimitado por encima.
La segunda declaración es también cierto para los números reales positivos: Supongamos que se nos ha dado un número real positivo $r$. Luego por la anterior propiedad, existe un número natural $n$ tal que $1/r < n$. Por lo tanto,$1/n<r$.
Pero para dar sentido al resto de tu pregunta, tenemos que utilizar la noción de Arquímedes normativa campos. Si $F$ es un campo con un valor absoluto $|\cdot|$, $F$ se llama Arquímedes si, dado cualquier elemento $x\in F$, algunas positivas múltiplo entero de $x$ tiene valor absoluto mayor que 1: $\exists n\in \mathbb{N}, \ |nx|>1$.
Esta definición de Arquímedes implica la versión anterior. En efecto, supongamos que la normativa de Arquímedes campo $F$ es también un orden lineal, con $|x|=x$ para los elementos positivos. Deje $a,b\in \mathbb{F}$ ser positivo. A continuación, dejando $x=a/b$, debe existir un $n$ tal que $|nx|>1$. Entonces, por la desigualdad de triángulo $|x|+|x|+\cdots +|x| \text{ (n times)} \geq |nx| > 1$. Por lo tanto,$1<n|x|=n|a/b|=na/b$, ya que el $a/b$ es positivo. Luego tenemos a $na>b$, lo $a$ no es infinitesimal con respecto a $b$. Esta muestra $F$ es de Arquímedes en el anterior sentido, así que algo más indirectamente, $\mathbb{R}$ de Arquímedes como una normativa de campo implica también que las afirmaciones que usted dio.
Esta propiedad solo no prueba la integridad de $\mathbb{R}$. Por ejemplo, las mismas propiedades para $\mathbb{Q}$ en lugar de $\mathbb{R}$, pero $\mathbb{Q}$ no es completa. La integridad es totalmente otra propiedad de $\mathbb{R}$, que sería demasiado largo de explicar aquí desde el principio. El punto principal es que el $\mathbb{R}$ es la culminación de $\mathbb{Q}$ con respecto a la ordinaria de valor absoluto. Resulta que hay otras funciones de valor absoluto se puede definir en $\mathbb{Q}$, y si repetimos el mismo procedimiento que utilizamos para fabricar $\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$ , el uso de estos valores absolutos en lugar de la habitual, obtenemos nuevas terminaciones de $\mathbb{Q}$, el llamado $p$-ádico campos, que son no Arquimedianos.
Vamos a fijar firmemente un número primo $p$. Dado un número racional $x$, podemos factor de $x$ en números primos (con exponentes negativos posiblemente). Si $r$ es el exponente de $p$ que se produce en la factorización de $x$, podemos definir el $p$-ádico valor absoluto de $x$$|x|_p=p^{-r}$. Resulta que esta función tiene las mismas propiedades básicas ordinarias de valor absoluto. De hecho, en lugar de la desigualdad de triángulo, algo incluso más fuerte se tiene:
$$|x+y|_p \leq \max\{|x|_p,|y|_p\}.$$
Este es el llamado ultra-métrica de la desigualdad, y en última instancia, lo que hace que este valor absoluto no Arquimedianos.
El $p$-ádico valor absoluto puede parecer extraño al principio, pero al igual que el ordinario valor absoluto, mide algo acerca de los números. Mientras que el ordinario valor absoluto $|x|$ cuantifica el tamaño total de un número racional $x$, $p$- ádico valor absoluto $|x|_p$ mide la distancia de $x$ es divisible por $p$. Cuanto mayor sea la potencia de $p$ que $x$ es divisible por, más cerca de $x$ cero es en el $p$-ádico valor absoluto. Así, por ejemplo, $250=2\times 5^3$ está mucho más cerca de a $0$ $5$- ádico valor absoluto de $2$: $|250|_5 = 1/125,\ \ |2|_5 = 1$.
Si se forma la realización de $\mathbb{Q}$ con respecto a este nuevo valor absoluto, similar a cómo formamos $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ (tomando clases de equivalencia de secuencias de Cauchy), obtenemos una nueva forma de "llenar los huecos" de $\mathbb{Q}$. Esto se llama el campo de $\mathbb{Q}_p$ $p$- ádico números.
A diferencia de $\mathbb{R}$, el campo de $\mathbb{Q}_p$ no está de Arquímedes. Esto es una consecuencia de la ultra-métrica de la desigualdad. Para ver esto, supongamos $x\in \mathbb{Q}_p$ cualquier $p$-ádico número tal que $|x|_p \leq 1$, entonces tenemos:
$$|2x|_p =|x+x|_p \leq \max\{|x|_p,|x|_p\}=|x|_p \leq 1.$$
El uso de $|2x|_p\leq 1$ $|x|_p\leq 1,$
$$|3x|_p=|2x+x|_p \leq \max\{|x|_p,|2x|_p\} \leq 1,$$
y de manera similar a $|4x|_p=|3x+x|_p\leq \max\{|3x|_p,|x|_p\} \leq 1$, y así por inducción $|nx|_p\leq 1$ todos los $n$. Por lo tanto $\mathbb{Q}_p$ es no-Arquímedes.
También podemos ver que en $\mathbb{Q}_p$, los números naturales $\mathbb{N}$ están delimitadas por encima: para cualquier $n\in \mathbb{N}$, $|n|_p \leq 1$, dado que el exponente $r$ $p$ que aparecen en la descomposición en factores primos de a $n$ es no negativo: $|n|_p = 5^{-r} \leq 5^0 =1$.
Esto también muestra que para $n\in \mathbb{N}$, $|1/n|_p \geq 1$, así que podemos no encontrar $1/n$ que son muy pequeñas en $p$-ádico valor absoluto. Por lo tanto de los hechos que usted menciona en su pregunta son falsas para $\mathbb{Q}_p$.
Ahora hay una sorprendente teorema de Ostrowski que dice que no hay otras terminaciones de $\mathbb{Q}$! Cualquier otro de los valores absolutos que pueden definir el $\mathbb{Q}$ será equivalente a la ordinaria valor absoluto, o a una de las $p$-adics, y después de llevar a cabo el proceso de terminación, conseguiremos $\mathbb{R}$, o uno de los $p$-ádico campos de $\mathbb{Q}_p$. Este es el sentido en el que $\mathbb{R}$ es el de Arquímedes finalización de $\mathbb{Q}$.
Por último, permítanme decir que, aunque el campo de $\mathbb{Q}_p$ es en primer lugar un extraño lugar para jugar, es utilizado por número de teóricos de todo el tiempo. La aritmética en $\mathbb{Q}_p$ se interpreta a veces como hacer congruencia aritmética modulo de todas las facultades de p al mismo tiempo.
Esperemos que la noción de $\mathbb{R}$ de Arquímedes es más clara una vez que somos conscientes de la existencia de estos no Arquimedianos terminaciones. El $p$-ádico números tienen muchas más extrañamente hermoso propiedades que no pueden ser mencionados en un solo lugar.
