Computar:
$$\lim_{x\to0} \frac{\cosh x\cosh 2x\cosh 3x \cdots \cosh nx-1}{x^2}$$
¿Cómo abordaría usted este problema? Gracias.
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mona
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38
Tenga en cuenta que $$ \cosh \alpha=1+\frac{\alpha^2}{2}+o(\alpha^2) $$ para $\alpha\to0$ . Así que para $x\to 0$ tenemos $$ \prod\limits_{k=1}^n \cosh kx= \prod\limits_{k=1}^n \left(1+\frac{k^2 x^2}{2}+o(k^2 x^2)\right)= \prod\limits_{k=1}^n \left(1+\frac{k^2 x^2}{2}+o(x^2)\right)= 1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{2}k^2 x^2+o(x^2) $$ Por lo tanto, $$ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\prod\limits_{k=1}^n\cosh kx - 1}{x^2}= \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n k^2 x^2+o(x^2)}{x^2}= \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12} $$
Quiere calcular $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n\cosh kx - 1}{x^2}$ . Empecemos por observar que $\displaystyle\prod_{k=1}^n\cosh kx - 1 = \displaystyle\prod_{k=1}^n\cosh kx - \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\cosh kx + \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\cosh kx -1 = (\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\cosh kx)(\cosh nx -1) + \displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\cosh kx -1$ .
Ahora vamos a llamar a $u_n = \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\displaystyle\prod_{k=1}^n\cosh kx - 1}{x^2}$ . A partir de la igualdad anterior, tenemos $u_n = u_{n-1} + \frac{n^2}{2}$ . (Nota: es sencillo demostrar por recurrencia que $\forall n\in\mathbb{N},u_n\in\mathbb{R}$ ), y porque $u_1 = \frac{1}{2}$ tenemos $u_n = \frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}$
chiborg
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364
Por el teorema de Taylor tenemos $\cosh x = 1 + \frac{x^2}2 + O(x^4)$ . Así que ignorando las partes del producto que tienden a $0$ más rápido que $x^2$ obtenemos
$$ \cosh x \cosh 2x \cdots \cosh nx = \left(1+\frac{x^2}2\right)\left(1+\frac{(2x)^2}2\right)\cdots\left(1+\frac{(nx)^2}2\right)+O(x^4) $$
El producto de polinomios se puede calcular fácilmente si ignoramos los términos de orden superior al cuadrático. Obtenemos
$$ \cosh x \cosh 2x \cdots \cosh nx = 1+\frac{x^2}2+\frac{(2x)^2}2+\cdots+\frac{(nx)^2}2+O(x^4) $$
El coeficiente de $x^2$ es la mitad de la suma del primer $n$ números cuadrados que es $n(n+1)(2n+1)/12$ . Por lo tanto, obtenemos
$$ \lim_{x\to 0} \frac{\cosh x \cosh 2x \cdots \cosh nx - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}x^2+O(x^4)}{x^2} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}\,. $$
user33954
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31
Quisiera dejar mi respuesta en la caja de comentarios pero mi respuesta parcial es demasiado larga. Intento lo siguiente, sé que hay muchos cálculos pero creo que lo que he hecho puede ayudarnos a encontrar la respuesta.
$\displaystyle \frac{\cosh x\cosh 2x\cosh 3x \cdots \cosh nx-1}{x^2}=\frac{(e^x+e^{-x})(e^{2x}+e^{-2x})\cdot \ldots \cdot(e^{nx}+e^{-nx})-2^n}{2^n \cdot x^2}=$ $$\large \frac{\left(\frac{e^{2x}+1}{e^x}\right)\cdot \left(\frac{e^{4x}+1}{e^{2x}}\right)\cdot \ldots\cdot \left(\frac{e^{2nx}+1}{e^{nx}}\right)-2^{n}}{2^n \cdot x^2}.$$ Quiero escribir esta expresión con belleza. $e^x =a$ . Así que tenemos:
$$\large\frac{\frac{(a^2+1)(a^4+1)\ldots(a^{2n}+1)}{a^{\frac{n(n+1)}{2}}}-2^n}{2^n \cdot x^2}=\frac{(a^2+1)(a^4+1)\ldots(a^{2n}+1)-2^n \cdot a^{\frac{n(n+1)}{2}}}{2^{n}\cdot x^{2} \cdot a^{\frac{n(n+1)}{2}}}. $$
$$=\large \frac{(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)\ldots(a^{2n}+1)-2^n \cdot a^{\frac{n(n+1)}{2}}\cdot(a^2-1)}{2^{n}\cdot x^{2} \cdot a^{\frac{n(n+1)}{2}}\cdot (a^2-1)}$$
$$\large=\frac{(a^{4n}-1)-2^{n}\cdot a^{\frac{n(n+1)}{2}}\cdot(a^2-1)}{2^{n}\cdot x^{2} \cdot a^{\frac{n(n+1)}{2}}\cdot (a^2-1)}$$
$$\large=\frac{e^{4nx}-1-2^{n} \cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x +2x}+2^{n}\cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x}}{2^{n} \cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x +2x} \cdot x^{2} -2^{n}\cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x} \cdot x^{2}}.$$
$$\large \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{e^{4nx}-1-2^{n} \cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x +2x}+2^{n}\cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x}}{2^{n} \cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x +2x} \cdot x^{2} -2^{n}\cdot e^{\frac{n(n+1)}{2}\cdot x} \cdot x^{2}}}=$$ y creo que este límite se puede calcular con L'Hospital.
¿Está bien?
