Ayudar a integrar la probabilidad de transición de la función de densidad de movimiento browniano.

Question

1. Problema:

Dado el Movimiento Browniano con Deriva: $$ dx = \mu \, dt+\sigma \, dW $$ Se puede demostrar que la transición de la función de densidad es la siguiente: $$ p(x, t) = \frac{e^{-\frac{(x-\mu t)^2}{2t\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{t\sigma^2}}$$

Por lo tanto, Si quiero encontrar la probabilidad acumulativa de un rango:

Ejemplo: $$ \mu=0.05, \sigma=0.5$$ $$ Pr(T \leq 10, \ -\infty \leq X \leq 5) = \int_0^{10}\int_{-\infty}^5 \frac{e^{-\frac{(x-\mu t)^2}{2t\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{t\sigma^2}}\,dx\,dt = 9.997 $$

• Puedo obtener los valores que son mayores que 1; por lo tanto, definitivamente estoy mal. Esto no es una probabilidad.

Por lo tanto, tengo algunas preguntas:

1. ¿Cuál es el valor que estoy recibiendo?
2. ¿Cómo puedo leer los $ Pr(T \leq t, \ X \leq x) $?

Simulado Caminos para la Difusión (Ecuación 1):

Gráfico de contorno de la Transición de la Función de Probabilidad:

Lo básico de probabilidad preguntas pueden ser respondidas por inferencia a partir de la transición de densidad de probabilidad?

2. Pregunta de seguimiento:

Lo que si hay un umbral en el que los caminos de la difusión está siendo asesinado - no es el momento de convertirse en una variable aleatoria? es decir, Un libro que me estoy leyendo proporciona la siguiente fórmula para la probabilidad de trayectorias, que son asesinados:

$$ Pr(T < t \mid y) = \int_{0}^{\infty }\int_{\Omega }k(x)p(t, x\a mediados de y)\,dx\,dt \\ $$

Ejemplo:

$$ k(x)=\lambda x^2, \ where \ \lambda=0.001 \\$$

La difusión de las rutas de cruce de la matanza de la función $ k(x) $ (línea Roja)

Aquí es donde mi confusión acerca de tener una variable aleatoria $ T $ proviene.

Entonces, ¿cómo puedo relacionar esta idea con la siguiente información acerca de la transición de densidad de probabilidad y la integral doble de tiempo?

3. Lecciones Aprendidas (Necesidades De Verificación)

Dado el Movimiento Browniano con Deriva:

$$ dx = \mu dt+\sigma dW \\ $$

yo. Difusión sin Matar:

La Probabilidad de Transición de la Función se define como: $$ p(x,t)dx=P(x(t)\in(x,x+dx)) \\ $$ ... se obtiene resolviendo el Avance de Kolmogorov PDE: $$ \frac{\partial p(t, x)}{\partial t} = -\frac{\partial\mu p(x, t)}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\sigma p(x, t)}{\partial x^{2}} \\ p(x, 0) = \delta (x-x_{0}) \\ $$

... De inferencia: $$ Pr(X \leq x) = \int_{-\infty }^{x}p(x, t)\,dx \\ $$

ii. Difusión con la Matanza:

La Probabilidad de Transición de la Función se define como: $$ p(x,t)dx=P(x(t)\in(x,x+dx),T>t) $$

... se obtiene mediante la resolución de la prueba de Kolmogorov hacia Atrás de la PDE: $$ \frac{\partial p(x, t)}{\partial t} = -k(x)p(x, t) + \frac{\partial\mu p(x, t)}{\partial x} +\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}\sigma p(x, t)}{\partial x^{2}} \\ p(x, 0) = \delta (x-x_{0}) $$ $$and \ BCs $$ ... De inferencia: $$ Pr(T \leq t, X \leq x) = \int_{0}^{t}\int_{-\infty }^{x}k(x)p(t, x)\,dx\,dt $$

Answer 1

Lo que escribes no tiene sentido y creo que usted tiene un montón de malentendidos. Su doble integral no tiene sentido, no sé de dónde sacó eso. Usted no definen $T$ o $X$. No tengo idea de donde se obtiene la idea de "temporal" o "espacial" de la variable aleatoria. Permítanme tratar de aclarar las cosas para usted.

$X_t$ es una colección de variables aleatorias. Cada una de las $t$ representa a una sola variable aleatoria. $t$ es un parámetro. La función de densidad de probabilidad es como usted dice, $p(x, t) = \frac{e^{-\frac{(x-\mu t)^{2}}{2t\sigma ^{2}}}}{\sqrt{2\pi }\sqrt{t\sigma ^{2}}}$. Sin embargo, esto no significa que lo que usted piensa que significa. $t$ los índices de una colección de variables aleatorias. No hay tal cosa como el "temporal parte" o "espacial". Esto NO es un bivariante función de densidad. $t$ es un parámetro como $\sigma$$\mu$.

Si quieres encontrar a $P(X_t \leq x)$, a continuación, sólo calcular:

$$P(X_t \leq x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^{-\frac{(y-\mu t)^{2}}{2t\sigma ^{2}}}}{\sqrt{2\pi }\sqrt{t\sigma ^{2}}} dy$$

De su resultado dependerá $t$, debido a $X_t$ depende de $t$.

Edit, por otro ejemplo, considere la variable aleatoria de Poisson $X_{\lambda}$ indexados por $\lambda$. Lo $P(X_{\lambda}=1)$? Bien, $\lambda e^{-\lambda}$. Por supuesto, esto depende de $\lambda$ $X_{\lambda}$ depende de $\lambda$.

La principal diferencia entre el movimiento Browniano (con desplazamiento) y este de Poisson ejemplo, es por lo general con variables aleatorias de Poisson de que usted escoja a $\lambda$ y permanecer con él, donde con el movimiento Browniano usted se preocupa por la evolución a lo largo de $t$. Sin embargo $t$ es todavía sólo algún parámetro.

Si realmente quería ser específico, usted podría escribir $X_{t,\mu,\sigma}$ aunque usted no hace esto porque $\mu$ $\sigma$ son fijos durante todo el problema. Esta es la razón por la que usted no ve $X_{\lambda}$. Eso es debido a que $\lambda$ suele ser fija.