Evaluar $\int_0^{\infty}\frac1{x^9+1}~\mathrm{d}x$

Question

¿Cómo podemos evaluar esta integral? $$\int_0^{\infty}\frac1{x^9+1}~\mathrm{d}x$$

Answer 1

Permítanme ampliar mi comentario y obtener la respuesta para una integral más general $$I(\gamma)=\int_0^{\infty}\frac{dx}{1+x^{\gamma}},\qquad \gamma>1.$$ El cambio de variables $$y=\frac{1}{1+x^{\gamma}},\qquad x=\left(\frac{1-y}{y}\right)^{1/\gamma},\qquad dx=-\frac{1}{\gamma y^2}\left(\frac{1-y}{y}\right)^{1/\gamma-1}dy$$ lo transforma en \begin{align} I(\gamma)&=\frac{1}{\gamma}\int_0^1 y^{-1/\gamma}\left(1-y\right)^{1/\gamma-1}dy=\\ &=\frac1\gamma B\left(1-\frac1\gamma,\frac1\gamma\right)=\\ &=\frac1\gamma\Gamma\left(1-\frac1\gamma\right)\Gamma\left(\frac1\gamma\right)=\\ &=\frac{\pi}{\gamma \sin\frac{\pi}{\gamma}}, \end{align} donde en el primer paso utilizamos el función beta en el segundo su expresión en términos de funciones gamma, y en el tercero Fórmula de reflexión de Euler .

Answer 2

¿Cómo podemos evaluar esta integral?

Dejando $t=\dfrac1{x^9+1}$ y reconociendo la expresión de la función beta en la nueva integral,

entonces aplicando Fórmula de reflexión de Euler para el $\Gamma$ función a esa expresión para finalmente

llegar a $\displaystyle\int_0^\infty\frac{x^{n-1}}{x^m+1}dx=\frac\pi m\cdot\csc\bigg(n\cdot\frac\pi m\bigg)$ que para $n=1$ y $m=9$ se convierte en $\dfrac\pi{9\cdot\sin\dfrac\pi9}$

Answer 3

Mediante la integración de contornos, en esta respuesta se demuestra que $$ \frac{\pi}{m}\csc\left(\pi\frac{n+1}{m}\right)=\int_0^\infty\frac{x^n}{1+x^m}\,\mathrm{d}x $$ Enchufar $n=0$ y $m=9$ produce $$ \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^9}=\frac\pi9\csc\left(\frac\pi9\right) $$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ \begin{align} &\color{#00f}{\large\int_{0}^{\infty}{\dd x \over x^{9} + 1}} =\int_{0}^{\infty}\pars{\int_{0}^{\infty}\expo{-\pars{x^{9} + 1}\xi}\,\dd\xi}\,\dd x \\[3mm]&=\int_{0}^{\infty}\expo{-\xi} \pars{\overbrace{\int_{0}^{\infty}\expo{-\xi x^{9}}\,\dd x} ^{\ds{\mbox{Set}\ t \equiv \xi x^{9}\ \imp\ x = \xi^{-1/9}t^{1/9}}}}\,\dd\xi \\[3mm]&=\int_{0}^{\infty}\expo{-\xi}\pars{\int_{0}^{\infty}\expo{-t}\xi^{-1/9}\, {1 \over 9}\,t^{-8/9}\,\dd t}\,\dd\xi \\[3mm]&={1 \over 9}\pars{\int_{0}^{\infty}\xi^{-1/9}\expo{-\xi}\,\dd\xi} \pars{\int_{0}^{\infty}t^{-8/9}\expo{-t}\,\dd t} ={1 \over 9}\,\Gamma\pars{8 \over 9}\Gamma\pars{1 \over 9} \end{align} donde $\ds{\Gamma\pars{z}}$ es el Función gamma .

Utilizando el Fórmula de reflexión de Euler ${\bf\mbox{6.1.17}}$ : \begin{align} &\color{#00f}{\large\int_{0}^{\infty}{\dd x \over x^{9} + 1}} =\color{#00f}{\large{1 \over 9}\,\pi\,\csc\pars{\pi \over 9}} \end{align}