Todo esto y más, dependen de un axioma llamado El Axioma de Elección. Este axioma impone conjunto infinito a ser muy bien atendidos, y la respuesta a todas sus preguntas se convierten en "sí".
Si no asumimos el axioma de elección, a continuación, las respuestas de cambio, es decir, algunos de ellos se hacen "a veces" y otros "no".
Ninguna de estas proposiciones son triviales, sobre todo, sin antecedentes en la teoría de conjuntos. Incluso es menos trivial si usted no está acostumbrado a probar cosas de la axiomática, como los sistemas de ZFC.
Permítanme responder a sus preguntas hacia atrás.
El axioma de elección es equivalente a la afirmación "Para cada infinita $X$, $X\times X$ tiene la misma cardinalidad como $X$". En particular, esto significa que si suponemos el axioma de elección, entonces esto es cierto para cada conjunto infinito, pero si asumimos que este axioma no se sostiene, entonces se nos garantiza un contraejemplo para existir.
La segunda pregunta respecto a $X\times\mathbb N$, de nuevo, si suponemos el axioma de elección, la respuesta es "sí". Una de las consecuencias de este axioma es que si $X$ es infinito, $X$ tiene un countably subconjunto infinito. Combinan con los anteriores tenemos que $$|X|\leq|X\times\mathbb N|\leq|X\times X|=|X|$$, por Tanto, la igualdad se produce.
De nuevo, esto equivale a que el axioma de elección y la primera respuesta. Suponiendo que $X\times X$ tiene la misma cardinalidad como $X$, podemos probar por inducción que $|X^n|=|X|$ , y por la segunda respuesta que tenemos que $|\bigcup X^n|=|X\times\mathbb N|=|X|$ nuevo.
Esto no es exactamente lo que estamos buscando, porque este es el conjunto de secuencias en lugar de subgrupos, pero ahora podemos simplemente enviar cada secuencia $\langle a_i\mid i=0,\ldots,k\rangle$ para el conjunto de $\{a_i\mid i=0,\ldots,k\}$. Observar que en las secuencias puede haber repeticiones, las cuales se eliminan cuando se toma el conjunto, pero todavía puede obtener cada subconjunto finito.
Bueno, este es un surjection, por lo que no se trata aún de demostrar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $X$ tiene la misma cardinalidad como $X$, pero otra maravillosa propiedad después de que el axioma de elección es que podemos inversa surjective funciones, es decir, hay una inyección de un conjunto de subconjuntos finitos en el conjunto de secuencias finitas, y esto es lo que queríamos.
Una última observación es que los contraejemplos sin el axioma de elección no son muy naturales, al menos para una persona moderna. Sin embargo existen y tienen su lugar en matemáticas.
