¿Qué hace $\mathrm d^2 x$ ¿quieren decir exactamente?

Question

Estoy aprendiendo radiometría y una de las ecuaciones es la radiancia que se da como el flujo radiante por unidad de área proyectada por unidad de ángulo sólido. En la ecuación:

$$L = {d^2\Phi \over {cos(\theta)dAd\omega}} (eq. 1)$$

Ahora más adelante en el libro que leí utilizan la intensidad que es la densidad angular del flujo radiante:

$$I = {d\Phi \over d\omega} (eq. 2)$$

Y explican que debido a la ley del coseno I se atenúa por $cos(\theta)$ el ángulo de incidencia entre la normal de la superficie y la dirección de la luz incidente (o dirección de la vista). Hasta aquí todo bien.

Mi problema es que sustituyen $Icos(\theta)d\omega$ al numerador de la ecuación 1, lo que da algo así como

$${Icos(\theta)d\omega \over {cos(\theta)dAd\omega}} \rightarrow {I\over{dA}}$$

Todo eso me parece lógico pero la pregunta es: en la ecuación 1 el numerador es $d^2\Phi$ . Entonces, ¿es legal sustituirlo por sólo $Icos(\theta)d\omega$ . ¿Qué significa matemáticamente el exponente 2 (después de d y antes de phi) en ese caso? ¿Cómo debo leerlo e interpretarlo?

Muchas gracias por su ayuda "inteligente".

Como referencia: www.astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/stellatm/atm1.pdf (p12)

Answer 1

La respuesta a sus preguntas es que en física es posible este tipo de reparación. Así que preguntar a los matemáticos por qué puede causar discusión. Higiénicamente como amthematician usted no puede derecho hacerlo pero en física este tipo de operación con operadores es correcto y una vez bajo las constarints traídas en ese campo de trabajo consenso : $d^2\Phi$ actúa como un operador y cn ser sustituido en este caso. Pre-supone un comportamiento periódico de la solución del sistema que permite directamente aplicar la fealdad matemática pero físicamente elegante : $d^2\Phi=Icos(\theta)d\omega$ (¡Oups!).

Así pues, el trasfondo matemático del cálculo es correcto, pero la sustitución heurística directa no lo es matemáticamente. bonito .

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Permítanme intentar poner las ecuaciones en notación infitesimal (sólo tratar de recordar lo que recuerdo de la teoría de la radiación), hay tres de ellos:

$$\delta I=L\,cos\theta\,\delta A \quad (1)$$ $$\delta \Phi=I\,\delta \omega \quad (2)$$ $$\delta^2 \Phi=L\,\delta A \, (\delta\omega\, cos\theta) \quad (3)$$

Con la intensidad diferencial $\delta I$ (de la fuente puntual en una dirección dada en $\delta A$ ).

Ahora debería ser posible reconstruir todas tus ecuaciones mediante la eauación anterior.

Su ecuación $1$ se deduce de esta ecuación $3$ . Su ecuación $2$ de aquí ecuación $2$ y con la ecuación $1$ y $3$ obtenemos $$\delta^2 \Phi=L\,\delta A \, (\delta\omega\, cos\theta)=\delta I\; \delta\omega\quad (4)$$ Ahora introduzca la condición $$\delta I_{(\theta)}=I_{(n)} \,cos(\theta) \quad (5)$$ Y esto es física, si no recuerdo mal esto se puede argumentar por Ley del coseno de Lambert .

Ahora usted debe tener todos los argumentos toegether.