¿Cuáles son las invariantes fundamentales en $1+d$ electromagnetismo tenue?

Question

Como sabemos en $1+3$ electromagnetismo dim, sólo hay dos escalares independientes invariantes gauge $$\frac12F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=\mathbf{B}^2-\mathbf{E}^2$$ $$\frac14F_{\mu\nu}\ {}^\ast F^{\mu\nu}=\frac14\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta }F_{\mu\nu}F_{\alpha\beta}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{E}.$$

La primera puede generalizarse sin duda a cualquier dimensión. Pero la segunda depende en gran medida de la $1+3$ dim.

Como sabemos en $1+1$ dim $$F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0 & -E \\ E & 0\end{pmatrix}$$ Así que las dos invariantes que se me ocurren son $$\epsilon_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-2E$$ y $$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=-2E^2$$ Así que sólo uno es independiente.

Así que mi pregunta: En $1+d$ dim teoría electromagnética, ¿cuántos escalares invariantes gauge independientes y cuáles son respectivamente? ¿Cómo demostrar que son los únicos escalares invariantes gauge independientes? es decir, cualquier otro escalar invariante gauge puede ser construido por ellos. He encontrado un prueba en $1+3$ tenue, pero esta prueba depende en gran medida de la física en $1+3$ dim, y no puede generalizarse a ninguna dimensión.

Answer 1

Si restringe su pregunta a cuáles son los polinomios invariantes de Lorentz de $F_{\mu\nu}$ entonces la pregunta tiene una respuesta relativamente sencilla. $F_{\mu\nu}$ es una matriz antisimétrica, que es la misma representación que el adjunto del grupo de Lorentz.

Polinomios invariantes en la representación adjunta de un álgebra $g$ forman lo que se conoce como el centro del álgebra envolvente universal $Ug$ . Se sabe además que el centro de $Ug$ para un simple $g$ está finitamente generada por $n$ generadores conocidos como los elementos de Casimir. Aquí $n$ es igual al rango de $g$ .

En nuestro caso, el álgebra es $so(d)$ (o $so(d-1,1)$ pero el análisis no depende de la firma), que es lo mismo que $D_n$ para $d=2n$ o $B_n$ para $d=2n+1$ .

Para $B_n$ los elementos de Casimir son sólo $\mathrm{Tr}\,F^k$ para incluso $k=2,4,\ldots, 2n$ . Aquí por $F^k$ Me refiero a lo de siempre $k$ -ésima potencia matricial y no $F\wedge F \wedge \ldots \wedge F$ . (Para impar $k$ la invariante $\mathrm{Tr}\,F^k$ desaparece ¿por qué?)

Para $D_n$ los elementos de Casimir son $\mathrm{Tr}\,F^k$ para $k=2,4,\ldots, 2(n-1)$ que dan $n-1$ invariantes. La última $n$ -está dado por el Pfaffiano de $F$ , $$ \mathrm{Pf}\,F \propto \epsilon^{\mu_1\nu_1\mu_2\nu_2\ldots \mu_n\nu_n}F_{\mu_1\nu_1}\cdots F_{\mu_n\nu_n}. $$

Todas las demás invariantes polinómicas en $F$ pueden escribirse como polinomios en las invariantes básicas anteriores.

En cuatro dimensiones tenemos así $\mathrm{Tr} F^2=F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}$ y $\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho} F_{\mu\nu}F_{\sigma\rho}$ como se esperaba. En dos dimensiones se obtiene $\epsilon^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ . En tres dimensiones sólo hay $F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}$ .