¿Por qué puede ' t escoger calcetines con moneda gira?

Question

Estoy aprendiendo la teoría de conjuntos axiomática y estoy teniendo algunos problemas para conseguir mi cabeza alrededor del axioma de elección. Yo (creo yo) a entender lo que el axioma que dice, pero no entiendo por qué es tan "polémico", que probablemente significa que todavía no he digerido correctamente.

Tan lejos como puedo hacer, uno a la redacción de el axioma es: para cualquier familia de los no-vacío, de a pares distintos conjuntos, existe un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada conjunto en la familia.

Si eso es todo lo que el axioma de los estados, ¿por qué hay tanto debate a su alrededor? Si se declaró como no existe un procedimiento para la construcción de un conjunto, que me puede ayudar a entender (si es que una incorrecta declaración de la axiología?), pero, de nuevo:

El uso de Russell clásico de los zapatos y los calcetines ejemplo, ¿por qué no lanzar una moneda para cada par de calcetines suficiente?

Estoy seguro de que esta debe ser una pregunta estúpida, pero por favor, que me ayude a entender por qué.

Answer 1

Tirones de la moneda no funcionan porque necesita decidir cual calcetín va para las "cabezas" y que uno de "colas". Una vez que hayas hecho esa asignación no necesita la moneda simplemente asume que siempre obtendrá cabezas.

Answer 2

Los conjuntos en los "calcetines ejemplo" son tales que no es posible hacer una "distinción razonable" entre los dos.

Es más que sólo eso. La unión de las parejas, mientras que un contable de la unión de parejas, no es contable. Puede ser hecho de modo que ni siquiera tienen un countably subconjunto infinito (y, a veces, es posible que exista tal countably subconjunto infinito).

Por otro lado, la unión de los pares $\{H_n,T_n\}$, donde $H_n$ y $T_n$ son los posibles resultados de la $$n-ésimo tirón de la moneda, es contable. Podemos simplemente el mapa de $H_n$ $2n$ y $T_n$ $2n+1$. Esto es fácil de inyección a partir de los resultados posibles en los números naturales.

Para hacer esto un poco más visual, si voy a dar a usted countably muchos conjuntos de pares de hormigas, usted será capaz de examinar a cada pareja y discernir sus elementos, pero mirando de lejos, usted no será capaz de hacerlo por todos los pares al mismo tiempo. De forma parecida, en este caso, usted puede examinar un número finito de conjuntos y discernir entre cada conjunto de elementos, pero usted no puede hacer eso de manera uniforme para todos los pares.

Answer 3

Su instinto es básicamente correcto, usted puede elegir los calcetines arbitrariamente ("lanzar una moneda") sin un axioma que permite. Pero sólo porque cualquier cosa que hagas es necesariamente un proceso finito.

De hecho, el Axioma de Elección no es necesario para finito de conjuntos. Varios restringido formas son teoremas de los otros axiomas: http://mathoverflow.net/questions/32538/finite-axiom-of-choice-how-do-you-prove-it-from-just-zf

AC es controvertido cuando se aplica a transfinito conjuntos. A la sobre-simplificar, se puede pensar en la "polémica" como específicamente se relaciona con el hecho de que es equivalente a la buena Ordenación Teorema (que mi curso llamado Principio de buena Ordenación, pero al parecer eso es ambigua en otros contextos). Nadie discute que finito y contable de conjuntos puede ser bien ordenado, es el resto que son difíciles.

Hay un chiste (que no totalmente resiste el análisis, pero no refleja el instinto de muchos), que el Axioma de Elección es obviamente cierto, el buen orden Teorema es obviamente falso, y el Lema de Zorn es, obviamente, incomprensible. Son todos equivalentes.

Answer 4

Un punto no hizo hincapié en las respuestas pero es que el axioma de elección no es sobre lo que usted (o alguien) puede hacer, como los bancos monedas) sino de la existencia de conjuntos. Los otros axiomas ZF aseguran la existencia de conjuntos definidos de varias maneras, pero no aseguran la existencia de conjuntos al azar buscando. Un rol del axioma de elección es apoyar la noción intuitiva que todos los conjuntos están disponibles, los que no podemos definir incluso.

Answer 5

Es polémico, ya que le da un acceso a los innumerables infinito de los números reales que no se ha 'ganado' a través de algún proceso constructivo como tener un límite. Esto se traduce en ciertas aparentes paradojas, de Banach-Tarski. Además-aunque esto es un poco más de un sesgo personal--no hay nada en el mundo natural que parece motivar, es decir, no hay ningún resultado que soy consciente de que es de interés para la física o cualquier otra ciencia depende de ello. Matemáticas para cualquier propósito práctico es "completa" sin ella.