Ley fuerte de los grandes números de una secuencia de i.i.d. cuya integral no existe

Question

Probar: Sea $X_1 ,X_2 , ... , X_n , ...$ variables aleatorias de i.i.d. con $\mathbb{E}[X_1^+]=\mathbb{E}[X_1^-]=+\infty$.

Si $S_n=\sum_{i=1}^{n}{X_i}$ y $$\limsup_{n\rightarrow\infty}{\frac{S_n}{n}=+\infty}\text{ a.s., }\liminf_{n\rightarrow\infty}{\frac{S_n}{n}=-\infty}\text{ a.s.}$ $

Yo he demostrado que %#% $ #%

así que al menos uno de %#% $ de #% es cierto, pero no sé cómo probar ambos.

Actualización: Según el periódico el fuerte ley de los grandes números cuando la media es indefinida (Erickson K B, 1973), esta proposición es errónea.

Answer 1

Corolario 3 (pág. 1195) en [Kesten (1970)][1]:

Si $$\mathbb E[X_1^+]=\mathbb E[X_1^-]=\infty,$$, a continuación, uno de los siguientes tres casos debe prevalecer

(i) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}n = \infty$ w.p. 1

(ii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}n = -\infty$ w.p. 1

(iii) $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\frac{S_n}n = -\infty$ $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}n = +\infty$ w.p. 1

A partir de la equivalencia de (b) y (c) en el Teorema 6:

Si $\mathbb E[X_1^+]=\infty$, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes

(b) $\displaystyle\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}n>-\infty\right)=1$

(c) $\displaystyle\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}n=+\infty\right)=1$

y Hewitt-Savage cero-uno de la ley, (ii) sostiene, a continuación,$$\mathbb P\left(\limsup_{n\to\infty}\frac{S_n}n=\infty\right)=1. $$ If neither (i) nor (ii) hold, then similarly $$\mathbb P\left(\liminf_{n\to\infty}\frac{S_n}n=-\infty\right)=1,$$ a partir de la cual el resultado de la siguiente manera.