Lo que no puede ser un continuo en función de $f :\Bbb R \to \Bbb R \setminus \Bbb Q$

Question

Demostrar que no puede haber un continuo en función de $f :\Bbb R \to \Bbb R \setminus \Bbb Q$

Por favor, hágamelo saber si usted está de acuerdo con mi prueba:

Supongamos, hacia una contradicción, que existe un continuo en función de $f :\Bbb R \to \Bbb R \setminus \Bbb Q$ . Desde $\Bbb R$ está conectado, $f(\Bbb R) \subset \Bbb R\setminus \Bbb Q$ también debe estar conectado. Elija cualquiera de los $q \in \Bbb Q$ y deje $U=(\infty, q)$$V=(q, \infty)$. Tenga en cuenta que $U$ $V$ es no-vacío, discontinuo y abierto. A continuación, $U\cup V$ es una desconexión de $\Bbb R\setminus \Bbb Q$, una contradicción. Además, ${\Bbb R}=f^{-1}(U \cup V)$ es también una contradicción ya que el $\Bbb R$ está conectado.

Answer 1

La prueba sólo necesita una limpieza; establecer, por simplicidad, $\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Si $q\in\mathbb{Q}$, luego $$ (-\infty,q)\cap\mathbb{I} \qquad\text{y}\qquad (q,\infty)\cap\mathbb{I} $$ son no vacías, discontinuo y abrir los subconjuntos de a $\mathbb{I}$, cuya unión es $\mathbb{I}$. Por lo tanto $\mathbb{I}$ no está conectado y por lo tanto no puede ser la imagen de una función continua a partir de la conexión de un espacio.

La última frase debe ser eliminado como no esenciales y mal escrito.

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En realidad, se puede decir mucho más: cualquier función continua $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{I}$ es una constante, porque cada subconjunto de $\mathbb{I}$, con al menos dos puntos está desconectado. De hecho, si $a\ne b$ son elementos de $X\subset\mathbb{I}$, tomar un racional $q$ tal que $a<q<b$ y repetir el argumento anterior con $(-\infty,q)\cap X$$(q,\infty)\cap X$.

Answer 2

Hubiera dos números irracionales en la imagen, entonces cualquier número entre ellos sería así por el teorema del valor intermedio. Así, algunos voluntad racional tienen que cubrir. Por lo único irracional puede estar en la imagen, $f$ debe ser función constante.