Grado de un mapa $S^0 \to S^0$

Question

Por definición el grado de un mapa $f: S^n \to S^n$ es $\alpha \in \mathbb Z$ tal que $f_\ast(z) = \alpha z$ $f_{\ast}:H_n(S^n) \to H_n(S^n)$.

¿Cuál es la definición del grado de $f: S^0 \to S^0$?

(Lo necesito para calcular el grado del mapa atadura de una $1$ celda a dos $0$-células)

Answer 1

La mayoría de las definiciones de grado requieren el dominio de estar conectado. Este es el caso para la definición del grado de mapas de $S^n \to S^n$ usted hace referencia, ya que exige $H_n(S^n) \cong \mathbb{Z}$. Pero $S^0 \cong \{-1,1\}$ está desconectado, con $H_0(S^0) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$.

Afortunadamente, esto no nos impide la comprensión de la conexión el mapa de la frontera de un 1-celda a la 0-esqueleto. Cuando se trata, por ejemplo, la computación celular de homología, el grado se utiliza para formalizar la (firmado) número de veces que el límite de una $n$-móvil "hits" de cada una de las $(n-1)$de células en el $(n-1)$-esqueleto al que se está conectado. Pero en el caso de que $n=1$, podemos extraer la información directamente desde el mapa de $\phi:\partial e^1 \to X^0$. Escrito $e^1=[a,b]$ nos vamos a la orientación natural de $[a,b]$ corresponden a la asignación de "-1" a $a$ "+1" a $b$. Entonces, dado $x_0 \in X^0$, podemos definir el "grado" de $\phi$ $x_0$ $0$ si $f^{-1}(x_0)=\emptyset$, $-1$ si $f^{-1}(x_0)=\{a\}$, $1$ si $f^{-1}(x_0)=\{b\}$ o $-1+1=0$ si $f^{-1}(x_0)=\{a,b\}$. Esto es sólo el simplicial mapa de los límites en el nivel de la cadena.

Answer 2

Se define mediante grupo de homología reducida en lugar de Hatcher. No hay problema con $S^0$.