¿Lo que ' s con la versión de la raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon?

Question

La Wikipedia el artículo tiene una derivación de la de Klein-Gordon ecuación. Se llega a este paso:

$$\sqrt{\textbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4} = E$$

y se inserta el QM a los operadores obtener

$$\left( \sqrt{ (-i \hbar \nabla)^2 c^2 + m^2 c^4 } \right) \psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi$$

El artículo dice:

Esto, sin embargo, es engorroso y de la expresión para el trabajo, ya que el diferencial de operador no puede ser evaluado, mientras que bajo el signo de la raíz cuadrada. Además, esta ecuación, tal y como está, es no local.

Para solucionar este problema, la primera ecuación es cuadrática en lugar de conseguir

$$\textbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4 = E^2$$

después de que el QM operadores se insertan y la expresión se simplifica para obtener

$$-\hbar^2 c^2 \nabla^2 \psi + m^2 c^4 \psi = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \psi$$

Un par de cosas que no entiendo. En primer lugar, están las soluciones a esta ecuación diferencial no es exactamente el mismo que el de las soluciones de la primera ecuación diferencial? Ambos lados de la partida ecuación se elevan al cuadrado, así que me parece que, independientemente de la forma particular de la resultante de la ecuación diferencial, ambas deben tener el mismo conjunto de soluciones.

En segundo lugar, ¿por qué la primera ecuación diferencial engorroso trabajar con? Parece que sería en realidad más fácil de trabajar, ya que el operador en virtud de la raíz cuadrada puede ser ampliada en términos de un desarrollo en serie de Taylor y, a continuación, usted tiene una ecuación de primer orden en el tiempo.

Y por último, ¿alguien puede explicar qué no local significa? El artículo enlazado en la página de la Wikipedia no enteramente me ayudo a entenderlo.

Answer 1

En segundo lugar, ¿por qué la primera ecuación diferencial engorroso trabajar con? Parece que sería en realidad más fácil de trabajar, ya que el operador en virtud de la raíz cuadrada puede ser ampliada en términos de un desarrollo en serie de Taylor y, a continuación, usted tiene una ecuación de primer orden en el tiempo.

Así, la serie de Taylor para operador de expresiones en realidad sólo tienen sentido si el que confluyen todas partes (por ejemplo, $\exp(\partial_{x})$ tiene sentido como una serie de la expresión)...modulo detalles técnicos.

El squareroot no tiene una buena serie de expresión para cualquier operador...trabaja para el normal de los operadores.

Entonces, ¿qué pasa con este squareroot versión de la KG ecuación, sólo tomamos la transformada de Fourier de la expresión

$$ \int (k^{2}-m^{2})\,\hat{f}(k)e^{ikx}\,\mathrm{d}^{4}k=0. $$

Luego de observar tenemos el operador $(k^{2}-m^{2})$. Así que, hey, presto, tome su squareroot! Tenemos

$$ \int \sqrt{k^{2}-m^{2}}\;\hat{f}(k)e^{ikx}\,\mathrm{d}^{4}k=0. $$

Entonces...bueno, entonces es un dolor para trabajar con. Por qué? Porque todas nuestras encantadoras herramientas de álgebra lineal realmente no funciona demasiado bien. Mi siguiente herramienta, el lenguaje soez, no produce resultados mucho :\

Addendum: pensé que yo debería añadir algunos enlaces sobre esto, porque no son personas en la investigación. (Este método dibujé describe el tratamiento de la squareroot de Klein-Gordon Ecuación usando pseudodifferential operadores)

• Claus Lämmerzahl, "El pseudodifferential operador raíz cuadrada de la de Klein–Gordon ecuación". J. Math. Phys. 34 9 (1993), 3918-3932, doi:10.1063/1.530015
• J. Sucher, "la Invariancia Relativista y la Raíz Cuadrada de Klein‐Gordon Ecuación". J. Math. Phys. 4 17 (1963); doi:10.1063/1.1703882

Estoy seguro de que a partir de ahí, usted puede seguir las referencias de donde quiera que usted desee.

Y por último, ¿alguien puede explicar qué no local significa? El artículo enlazado en la página de la Wikipedia no enteramente me ayudo a entenderlo.

Como yo lo entiendo (y alguien que probablemente me corrija si me equivoco), de forma genérica, significa que el campo en un punto depende de su valor en otros separados espacialmente los puntos. Es borks nuestra comprensión intuitiva de la causa y el efecto.

Si tenemos infinidad de derivados, tenemos este problema. Por qué?

Bien, consideremos un caso especial: la expansión de Taylor. Tenemos

$$ f(x+h) = f(x) + hf'(x) +\cdots = \exp(h\partial_{x})f(x) $$

donde $\exp(h\partial_{x})=1 + h\partial_{x} + \cdots$ es una expresión que implique infinitamente muchos derivados. A continuación, obtener una relación entre los valores en dos puntos distintos ( $x$ $x+h$).

De manera más general, podríamos considerar que cualquier operador que implican infinitamente muchos derivados, no sólo a $\exp(h\partial/\partial x)$.