Cómo calcular el % de la serie $\sum\limits_{x=0}^\infty\sum\limits_{y=0}^\infty\sum\limits_{z=0}^\infty\frac{1}{2^x(2^{x+y}+2^{x+z}+2^{z+y})}$

Question

¿Cómo calcular la serie $\displaystyle\sum_{x=0}^\infty\sum_{y=0}^\infty\sum_{z=0}^\infty\frac{1}{2^x(2^{x+y}+2^{x+z}+2^{z+y})}$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Por simetría, la suma de $S$ de esta triple de la serie es también $$ S=\sum_{x,y,z}\frac{1}{2^y(2^{x+y}+2^{x+z}+2^{z+y})}=\sum_{x,y,z}\frac{1}{2^z(2^{x+y}+2^{x+z}+2^{z+y})}. $$ Además, $$ \frac1{2^x}+\frac1{2^y}+\frac1{2^z}=\frac{2^{x+y}+2^{x+z}+2^{z+y}}{2^{x+y+z}}. $$ Por lo tanto, la suma de estos tres equivalente fórmulas para $S$, se obtiene $$ 3S=\sum_{x,y,z}\frac1{2^{x+y+z}}=\left(\sum_{x}\frac1{2^x}\right)^3, $$ y, por último, $$ S=\frac13\cdot2^3=\frac83. $$ Más en general, para cada absolutamente convergente la serie de $\sum\limits_x\frac1{a_x}$, $$ \sum_x\sum_y\sum_z\frac{1}{a_x(a_xa_y+a_xa_z+a_za_y)}=\frac13\left(\sum_x\frac{1}{a_x}\right)^3. $$