Cómo resolver : $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{n\cdot 2^{n}}$

Question

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n!}{n\cdot 2^{n}}$$

Necesito resolver el problema del límite anterior. No tengo ni idea de qué hacer. ¿Qué sugieres?

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot \cdots \cdot n\ge 2\cdot 3\cdot 4^{n-3}$$ $$\frac{n!}{n\cdot 2^n} \ge 2\cdot 3\cdot \frac{4^{n-4}}{2^n}=\frac{2\cdot3}{4^4} 2^n$$

para $n\ge 4$ . Por lo tanto, la secuencia diverge.

Answer 2

Mira la serie

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{n2^n}{n!}=\sum_{n=1}^\infty a_n$$

y aplicar la prueba del cociente

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n2^n}=\frac2n\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$

y por lo tanto la serie converge, lo que significa

$$a_n\xrightarrow[n\to\infty]{}0\implies\frac1{a_n}=\frac{n!}{n2^n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\infty$$

Answer 3

Sugerencia :

$$\frac{n!}{n\cdot2^n} = \frac{(n - 1)!}{2^n}\\ = \frac{1}{2}\cdot\frac{(n-1)(n-2)...(3)(2)(1)}{\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdot...\cdot2}_{\text{n-1 times}}}\\ = \frac{1}{2}\cdot\frac{n-1}{2}\cdot\frac{n-2}{2}\cdot\dots\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}$$

Espero que pueda ver cómo esto es divergente.

Answer 4

Utilice la fórmula de Stirling $n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n(1+O(\frac{1}{n}))$ . Obtendrá

$\frac{n!}{n2^n}=\sqrt{\frac{2\pi}{n}}\left(\frac{n}{2e}\right)^n(1+O(\frac{1}{n}))\to \infty$