Prueba intuitiva/visual de que $(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$

Question

$$(1+2+\cdots+n)^2=1^3+2^3+\cdots+n^3$$

Me di cuenta de esto sólo porque $\displaystyle \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ y $\displaystyle \sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

Pero las dos cosas parecen completamente diferentes y no se me ocurre ninguna razón intuitiva por la que hubiera visto esta conexión. Algo parecido a las imágenes de 'Prueba sin palabras'. O un truco que podría usar al expandir el lado derecho para transformarlo en la suma de cubos.

Answer 1

Creo que esta imagen se debe a Anders Kaseorg .

Answer 2

$$ \sum_{i=1}^n i^3 - \sum_{i=1}^{n-1} i^3 = n^3 $$

$$\begin{align} \left(\sum_{i=1}^n i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^{n-1} i\right)^2&=\left(\sum_{i=1}^n i-\sum_{i=1}^{n-1} i\right)\left(\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=1}^{n-1} i\right)\\ &=n\left(\sum_{i=1}^n i + \sum_{i=1}^{n-1} (n-i)\right)\\ &=n\left(n + \sum_{i=1}^{n-1} n\right)\\ &=n\left(n + n(n-1)\right)\\ &=n\cdot n^2 = n^3 \end{align}$$

(Esto es para demostrar que hace matemáticamente sentido intuitivo)