Creo que la pregunta es evidente desde el título:
Hay conjuntos de $A$ $B$ tal que $A \in B$$B \in A$?
Mi sensación es que la definición de cualquiera de las dos conjuntos será circular (no se pueden definir $B$ hasta definimos $A$ y no se pueden definir $A$ hasta definimos $B$), y por lo tanto serán excluidos de algunos axioma.
Por otro lado, no veo una contradicción inherente, aunque no me sorprendería si alguna forma de la paradoja de Russell aparece, empujó detrás de un juego de llaves.
Uno de los Zermelo-Frankel axiomas es el axioma de regularidad.
El Axioma de Regularidad. Para cada conjunto no vacío $A$ existe un $a\in A$ tal que $a\cap A=\varnothing$.
Se puede hacer uso de este axioma para responder a su pregunta en el negativo.
La proposición. Deje $A$ $B$ ser conjuntos. A continuación, $A\notin B$ o $B\notin A$.
Prueba. En busca de una contradicción, supongamos $A\in B$$B\in A$. A continuación,$B\in A\cap\{A,B\}$$A\in B\cap\{A,B\}$. De ello se desprende que $A\cap\{A,B\}\neq\varnothing$$B\cap\{A,B\}\neq\varnothing$.
Ahora, el axioma de regularidad asegura una $X\in\{A,B\}$ tal que $X\cap\{A,B\}=\varnothing$. Pero esto implica $A\cap\{A,B\}=\varnothing$ o $B\cap\{A,B\}=\varnothing$, una contradicción. Por lo tanto $A\notin B$ o $B\notin A$. $\Box$
No es la respuesta sino es aburrido "No de acuerdo con algunas teorías, sí de acuerdo a los demás"?
Si concebimos el universo de los conjuntos de "abajo a arriba", que inicio con algunos urelements (o nada en absoluto si usted se siente realmente significa), la forma de los conjuntos de aquellos, luego formar conjuntos de lo que tenemos, luego formar conjuntos de todo lo hasta ahora, seguir adelante ... -- a continuación natural de las teorías de este acumulativa jerarquía de tomar la relación de pertenencia a estar bien fundada, de modo que, en particular, no hay cadenas como $A \in B \in A$).
Si concebimos el universo de los conjuntos de "arriba hacia abajo": un conjunto (por así decirlo) ha flechas apuntando a sus miembros (si los hubiere), que han flechas apuntando a sus miembros, y así sucesivamente, entonces podríamos rostro de bucle cadenas de flechas.
La primera jerárquica de la imagen va con ZFC (incluyendo la fundación/regularidad), y la variante gráfica de la concepción de los conjuntos que pasa con, por ejemplo, Azcel no bien fundada teorías.
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