Permutación representación interna producto

Question

Que $\rho : S_n \rightarrow \text{GL}(n, \mathbb{C})$ ser el homomorfismo traz una permutación $g$ a su matriz de la permutación. Que $\chi(g) = \text{Trace}(\rho(g))$.

¿Cuál es el valor de $\langle \chi, \chi \rangle = \displaystyle \frac{1}{n!} \sum_{g \in S_n} \chi(g)^2$? Computación esta expresión pequeño $n$ $2$ los rendimientos. ¿Es esto siempre cierto?

Answer 1

Por otra parte, que $X=\{1,\dots,n\}$ y $A=\{(x,y,g)\in X\times X\times S_n:gx=x, gy=y\}$. La suma de $\sum_g\chi(g)^2$ puede evaluarse contando elementos de $A$ de dos formas diferentes, como se explica en la teoría de grupos, Thm. 10.1.6 de W.R.Scott.

Answer 2

La traza de una matriz de permutación es el número de puntos fijos de la permutación correspondiente. Este es un caso especial de la identidad en "una identidad de puntos fijos de permutaciones" por Goldman, donde se muestra la media de los poderes de $k^{th}$ del número de puntos fijos que el $k^{th}$Bell número $B_k$ cuando $k<n$. Su caso sigue porque $B_2=2$.

Answer 3

Se cálculo el producto interno de $\chi$ con sí mismo.

Desde $\chi=\mathrm{triv}+\mathrm{std}$como un módulo de % de $S_n$, $\mathrm{triv}$ ser el trivial intutiva y $\mathrm{std}$ su complemento ortogonal, que es un irreducible $S_n$-módulo y puesto que el producto interno es, pues, un producto interno y distintos caracteres irreducibles son ortogonales, su $2$ sigue de $$\langle\chi,\chi\rangle=\langle\mathrm{triv}+\mathrm{std},\mathrm{triv}+\mathrm{std}\rangle=\langle\mathrm{triv},\mathrm{triv}\rangle+\langle\mathrm{std},\mathrm{std}\rangle=1+1$ $.

Answer 4

Aquí está otra prueba.

Si $G$ actúa transitoriamente en $X$, la representación de la permutación de $G$ es inducida por la representación de la permutación del % estabilizador $S$de un punto arbitrario. Como resultado, $\langle \chi , \chi \rangle$ cuenta el número de órbitas de $S$ $X$.

En su situación $G=S_n$ actúa transitoriamente en $X=\{1,\ldots,n\}$. $S$ Sea el estabilizador de $n$; Esto es más o menos $S_{n-1} \subset S_n$, que tiene dos órbitas en $X$: $\{1,\ldots, n-1\}$ y $\{n\}$.

Answer 5

En otro hecho, de que este es un caso especial, conocida para los (muchos) grupo de teóricos, es que si $G$ es finita transitiva permutación grupo, y $H$ es un punto estabilizador, entonces el cuadrado de la norma de la permutación de caracteres $1_{H}^{G}$ es el número de distintas $(H,H)$-el doble de cosets en $G$, que es el mismo que el número de órbitas de $H$ sobre los puntos en la permutación acción. Esta es una aplicación estándar de Mackey fórmula para la restricción a un subgrupo de un personaje (o la representación), inducida por la de otro subgrupo (este resultado puede encontrarse en textos estándar, tales como Curtis y Reiner), después de la primera aplicación Frobenius reciprocidad a la conclusión de que la $\langle 1_{H}^{G}, 1_{H}^{G}\rangle$ es igual a $\langle (1_{H}^{G})_{H},1 \rangle$.