Grupos Abelianization de mentira

Question

Si G es un grupo, su abelianization es el grupo abelian Una y el mapa G → Un ejemplo de que cualquier mapa G → B con B abelian factores a través de Un. Abelianization es un functor, y, en general, con mucha pérdida de la operación. El mapa G → Una es siempre un surjection/cociente, porque podemos construir Una dividiendo G por la mínima normal subgrupo que contiene todas las conjugaciones de ghg^-1h^-1 para g,h∈G.

Si V es un finito-dimensional (super)espacio vectorial sobre un campo K, entonces el abelianization de GL(V) es isomorfo al grupo multiplicativo K^* del número cero en K. De hecho, el factor determinante de las exhibiciones de la deseada isomorfismo.

Aquí hay dos preguntas que yo estoy curioso acerca de:

1. ¿Qué se puede decir acerca de la abelianizations de otros (finito-dimensional) se encuentran grupos?
2. Si V es un infinito-dimensional espacio vectorial, ¿qué puede decirse acerca de la abelianization de GL(V)? La mayoría de dimensiones infinitas espacios vectoriales tienen alguna estructura analítica, por ejemplo, topológicos, espacios vectoriales, y por eso es razonable pedir que los operadores de GL(V) debe preservar la estructura; ustedes son bienvenidos a tomar su tipo favorito de infinito-dimensional espacio vectorial y su tipo favorito de GL(V), si quieres.

Answer 1

Yo no tengo nada que decir sobre ejemplos concretos, pero aquí hay algunas observaciones generales. Un camino para la construcción de la abelianization de cualquier grupo compacto es considerar su imagen en el producto de todos sus 1-dimensional unitario de representaciones. Esto es debido a que un compacto grupo abelian se caracteriza por su conjunto de caracteres por Pontrjagin la dualidad. Más generalmente, se puede construir el doble de Pontrjagin dual de un localmente compacto grupo localmente compacto abelianization como un subgrupo de un espacio de mapas a U(1) con el compacto-abierta de la topología.

Answer 2

(En cierto sentido, esto es sólo una repetición de lo que dijo Eric arriba....)

Para grupos compactos, mucho se puede decir. Cada grupo compacto de H' tiene un número finito de cubierta H que es Mentira grupo isomorfo a $T^{k} \times G$ donde $G$ es compacta y simplemente conectado.

Entonces, uno puede fácilmente demostrar que [H,H] = {$e$}$\times G$ y, por tanto, que la abelianization de $H$ (que, como en el caso finito es H/[H,H]) es $T^{k}$.

Lo mismo es cierto de que el grupo original,$H'$: el abelianization es $H'/[H',H']$ e es isomorfo a $T^{k}$.