¿una teoría general de las configuraciones?

Question

Una vez encontré por accidente un artículo de MacPherson: "Classical projective geometry and modular varieties", en "Algebraic analysis, geometry, and number theory" (Baltimore, MD, 1988), cuya introducción me emocionó y todavía tengo curiosidad por saber cómo se desarrolló y si ahora existe una teoría general de las configuraciones como continuación de la geometría clásica. ¿Sabes algo al respecto?

copia del artículo: "La geometría proyectiva clásica fue un hermoso campo de las matemáticas. Murió, en nuestra opinión, no porque se quedara sin teoremas que demostrar, sino porque carecía de principios organizativos por los que seleccionar los teoremas que eran importantes. Además, estaba aislado del resto de las matemáticas. Gran parte de lo que hacemos puede considerarse una continuación directa de la geometría sintética del siglo XIX. De hecho, esperamos que la nueva motivación de estudiar los complejos C proporcione a la geometría proyectiva un principio organizativo y una relación que la vincule a la "corriente principal" de las matemáticas. Observamos matroides representables, arreglos de hiperplanos y cohomología motivacional. Una gran parte de la exposición de este trabajo está motivada por este sueño de continuar la geometría proyectiva clásica."

Editar: Teorema de Mnev El hecho de que todo esquema sobre Z "es" un espacio de moduli para configuraciones puntuales en el plano, me hace preguntarme por las aplicaciones y si existen versiones para otros anillos numéricos.

Answer 1

Los teóricos del modelo llevamos estudiando estas cosas desde hace un par de décadas, así que algo sé de esto.

Supongamos que (S, cl) es un matroide, es decir, un conjunto S dotado de un operador de cierre que satisface un par de axiomas naturales; los ejemplos canónicos son cuando S es un espacio vectorial y cl(X) = Span(X), o cuando S es un "espacio proyectivo" sobre algún campo (es decir, el conjunto de todos los subespacios unidimensionales de un espacio vectorial, y cl es el operador de cierre inducido por el span lineal). Además de los axiomas estándar de los matroides, supongamos

1. cl(conjunto vacío) = conjunto vacío;
2. cl({a}) = {a} para cualquier a en S;
3. (no trivialidad) Existe un subconjunto X de S tal que cl(X) no es la unión de {cl(a) : a está en X};
4. (modularidad) Para cualquier subconjunto cerrado de dimensión finita X e Y de S, dim(X unión Y) = dim(X) + dim(Y) - dim(X intersección Y);
5. dim(S) es al menos 4, y cualquier subconjunto bidimensional contiene al menos 3 elementos.

Entonces resulta que (S,cl) es isomorfo a un espacio proyectivo sobre algún campo sesgado.

Creo que esto se demostró por primera vez en el libro de Emil Artin Álgebra geométrica (1957).

En el contexto de la teoría de modelos, recientemente se ha investigado mucho sobre los matroides que surgen en los modelos de ciertas teorías (sólo que los llamamos "pregeometrías") y cómo las propiedades de estos matroides están relacionadas con las acciones de grupo definibles y los espacios vectoriales, en analogía con el resultado de Artin anterior. Véase, por ejemplo, el "teorema de la configuración de grupo estable" de Hrushovski, que dice que hay un grupo definible infinito siempre que se tenga una determinada configuración finita en un modelo de su teoría.

http://en.wikipedia.org/wiki/Pregeometry_(teoría_modelo)