Solución General de la $y'(x)+p(x)e^{r(x) y(x)}=q(x)$

Question

He resuelto el caso por la no homogénea de coeficientes constantes caso y me preguntaba si hay una manera de encontrar una solución general a un no-constante coeficiente caso. No sé cómo acercarse a todo esto, la sustitución de $y(x)=\frac{\log (v(x))}{r(x)}$ obtiene problemática de inmediato.

Answer 1

Aquí es lo que he intentado hasta ahora..

$$ y' + p(x)\mathrm{e}^{r(x)y} = q(x) $$ permite establecer $$ y' + q(x) = v'\implica y =v + \int p(x')dx' $$ por lo tanto, obtenemos

$$ v' +p(x)\mathrm{e}^{i\left(v + \int p(x')dx' \right)} = 0 $$ desde $p(x)\mathrm{exp}(\int q(x')dx') = f(x)$ I puede re-escribir la ecuación para el rendimiento $$ v' + \phi(x)\mathrm{e}^{rv} = 0 $$ donde $$ \phi(x) = p(x)\mathrm{exp}(\int p(x')dx') $$

esto es donde estoy atascado, como el establecimiento $w = \mathrm{e}^{-rv}$

nos encontramos $$ w' -\frac{r}{r}w\ln(w) - r\phi = 0 $$

voy a mantener a la misma.