Una curiosa prueba de la regla de L'Hospital

Question

Cito P. Nahin Cuando Menos es Mejor (2004), pp 173-174

"Desde $g(x)=R(x)h(x)$, entonces la diferenciación de ambos lados da $$g'(x)=R(x)h'(x)+R'(x)h(x).$$ Since $\lim_{x \rightarrow 0} h(x)=0$, and we assume $R(x)$ really does have a limit as $x \rightarrow 0$, i.e., $\lim_{x \rightarrow 0} R(x)=R$, then $$\lim_{x \rightarrow 0} g'(x)=\lim_{x \rightarrow 0} R(x)h'(x)+\lim_{x \rightarrow 0} R'(x)h(x)$$$$=R \lim_{x \rightarrow 0} h'(x) + \lim_{x \rightarrow 0} R'(x) \lim_{x \rightarrow 0} h(x).$$ The last term is zero because $\lim_{x \rightarrow 0} h(x)=0$ and because the very fact that $\lim_{x \rightarrow 0} R(x)=R$ implies that $\lim_{x \rightarrow 0} R'(x)=0$, too (i.e. the $y=R(x)$ curve must approach the horizontal zero-slope line $y=R$ as $x \rightarrow 0)$. So, $$\lim_{x \rightarrow 0} g'(x)=R \lim_{x \rightarrow 0} h'(x).$$ y hemos L'Hospital de la regla."

Por favor, alguien puede criticar a esta prueba ?

Todos los argumentos acerca de los límites de la popularización de las matemáticas es bienvenido.

Answer 1

La afirmación acerca de la $\lim R'(x)$ es malo. $R(x)\to R$ no implica $R'(x)\to 0$. Considere la posibilidad de $R(x)=R+x$.

A continuación, de nuevo, la afirmación acerca de la $\lim R'(x)$ es innecesariamente fuerte. Sería suficiente para saber que $R'(x)$ es limitada cerca de $x=0$ - pero ¿lo es?

Finalmente, el texto muestra (o más bien intenta mostrar) es muy débil demanda porque el final de la ecuación de $$\lim_{x \rightarrow 0} g'(x)=R \lim_{x \rightarrow 0} h'(x),$$ es que no la regla de l'Hôpital. En la configuración del texto, l'Hôpital de la regla puede ser formulado como

Deje $I$ ser un intervalo de con $0\in I$. Deje $g,h\colon I\setminus\{0\}\to\mathbb R$ ser diferenciable. Suponga $\lim_{x\to0} g(x)=\lim_{x\to0} h(x)=0$ y $\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{h'(x)}$ existe. A continuación, $\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{h(x)}$ existe y $\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{h'(x)}$.

Nota específicamente que esto no dice nada acerca de la existencia de $\lim_{x\to 0} g'(x)$ o $\lim_{x\to 0} h'(x)$.

Answer 2

Respuesta por Hagen von Eitzen ha demostrado sobradamente los problemas con la propuesta de la prueba de L'Hospital de la regla dada en su post. Me gustaría centrarme en los "límites de la popularización de las matemáticas" a la que se refieren en el final de tu post.

Me gustaría citar a Richard Feynman aquí (de "Reconocimiento" de "CQD"):

Muchos de los "populares" de las exposiciones de la ciencia de alcanzar la aparente sencillez sólo por describir algo diferente, algo mucho distorsionada de lo que afirman estar describiendo. Respecto de nuestro tema no nos permite hacer esto. A través de muchas horas de discusión, hemos tratado de alcanzar la máxima claridad y sencillez, sin compromiso por la distorsión de la verdad.

El tema es aún más importante para entender en el caso de las matemáticas, porque es mucho más riguroso y abstracto. Cualquier divulgación de las ideas de las matemáticas no debe tratar de minimizar el rigor. Es muy muy lamentable que no sólo popularizations de matemáticas evitar rigor, sino muchos libros de texto de cálculo también son culpables del mismo delito.

En mi opinión es mejor el estado de resultado sin pruebas (con el común de las excusas que está más allá del alcance del libro o va a ser enseñado en las clases más altas) que complementarlo con un mal/no rigurosas pruebas. La prueba presentada en su post, debe ser tratada como un galimatías y nada más. Me pregunto ¿cuál es la motivación de tales libro de autores como P. Nahin.

Me recuerda una vieja historia de mi infancia (de 13 años de edad, 8 estándar) cuando le pregunté a un maestro sobre la "prueba de la irracionalidad de $\pi$" y el maestro en lugar de eso me dio un ensayo sobre la historia de la $\pi$ y el 20 dígitos de $\pi$. Habría sido mucho mejor si el profesor le había dicho que la irracionalidad de $\pi$ está en una diferente nivel en comparación a la irracionalidad de la $\sqrt{2}$ y que probablemente lo haría la prueba en las clases más altas. Francamente, yo estaba tan cabreado con el ensayo porque yo ya había estudiado el mismo ensayo en $\pi$ desde el 9 de estándar de matemáticas libros de texto.

Sin embargo, tenemos algo de esperanza en "la popularización de las matemáticas" por la presentación de los conceptos en el idioma, en lugar de símbolos (esto requiere esfuerzo por parte del autor a escribir más y también necesita más páginas, por lo que el libro sería más costoso) y la sustitución de algunos artificial o innecesariamente complicados de pruebas con más simples.

Answer 3

La prueba parece estar trabajando para una versión modificada de l'Hospital de la regla.

La prueba se supone a priori que $\lim_{x\to0}R(x)$ existe. Una parte de la regla normal es que existe si $\lim_{x\to0}g(x)\ne0$ $\lim_{x\to0}f(x)$ existe.

También la afirmación de que $\lim_{x\to0}R'(x)=0$ sigue de $\lim_{x\to0}=R$ simplemente no tiene. Incluso no implica nada en la normal de l'Hospital de la regla. Considerar, por ejemplo, $(x+x^2)/x$ donde $R(x) = 1+x$ tendría $R'(x)=1$.

Realmente es peor que eso, ni siquiera es cierto que $R'(x)$ tiene que ser acotada. Tomemos, por ejemplo,$(x+x^2\sin x^{-2})/x = 1+x\sin x^{-1}$. Ahora, mientras se $\lim_{x\to0}R(x) = 1$ tenemos que $R'(x) = 1 + \sin x^{-2} - x^{-1}\cos x^{-1}$ $R'(x)$ no es aún limitada cerca de $0$.