Un cociente de grupo libre

Question

Si $F$ es un grupo libre sobre un conjunto finito $S$ , entonces los cuadrados de $F$ generan un subgrupo normal $N$ y $F/N$ es abeliano elemental $2$ -grupo de orden $2^{|S|}$ .

Dejemos que $F$ sea un grupo libre sobre un conjunto infinito $S$ y $N$ el subgrupo normal generado por los cuadrados en $F$ .

Q. $F/N$ es infinitamente directo suma o producto de $|S|$ muchas copias de $\mathbb{Z}_2$ ?

Answer 1

Se podría concluir fácilmente diciendo que como las palabras son finitas, entonces se debe estar en la suma directa y no en el producto directo como señala Quang Hoang.

Pero creo que el punto de vista más adecuado en general es el de las propiedades universales (es el más útil en casos generales) : $F$ tiene la propiedad universal de que cualquier función $f:S\to G$ a un grupo $G$ se extiende de forma única a un morfismo $\tilde{f}: F\to G$ . Entonces el cociente $F/N$ tiene la propiedad de que cualquier morfismo de grupo $\tilde{f}: F\to G$ tal que $\tilde{f}(a)^2 = 1$ para todos $a\in S$ factores de forma única a un morfismo $\overline{f}:F/N\to G$ .

Así que $F/N$ tiene la propiedad de que cualquier función $f:S\to G$ tal que $f(a)^2= 1$ para todos $a\in S$ se extiende de forma única a un morfismo de grupo $\overline{f}: F/N\to G$ .

Esta es exactamente la propiedad universal de $\bigoplus_S \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ya que dicha función $f:S\to G$ es lo mismo que dar un morfismo $f_a: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to G$ para todos $a\in S$ .

Así que $F/N$ y $\bigoplus_S \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tienen la misma propiedad universal: son canónicamente iguales.