Grado mínimo de una extensión de campo para obtener una curva elíptica

Question

Dejemos que $K$ sea un campo numérico y que $X$ sea una curva suave proyectiva geométricamente conectada sobre $K$ del género $1$ .

Existe un campo numérico $L/K$ tal que $X$ tiene un $L$ -punto racional. Sea $L$ sea una extensión de campo de grado mínimo.

¿Podemos atar $[L:\mathbf{Q}]$ ?

¿Y si sustituimos los campos numéricos por campos de función?

Answer 1

No, para cada campo numérico $K$ y $n \in \mathbb{Z}^+$ existe una curva de género uno $C_{/K}$ tal que el grado mínimo $[L:K]$ de una extensión de campo finito $L$ tal que $C$ admite un $L$ -El punto racional es $n$ . Este es un $2004$ teorema de mina .

Sobre campos de funciones de característica $p > 0$ el mismo resultado se mantiene, al menos si se toma $n$ para ser primordial para $p$ . Creo que este resultado se deriva del reciente trabajo (en solitario) de (mi amigo y colaborador) Shahed Sharif. (El resultado debería ser válido en toda su generalidad, y creo que Shahed y yo ya sabemos cómo demostrarlo. Pero el estudio del problema del índice de periodo para $p$ -clases de torsión en la característica $p$ en toda su generalidad se vuelve bastante técnico, y lo hemos dejado de lado desde hace un par de años...) En cualquier caso, es mucho más fácil ver que el grado mínimo puede ser arbitrariamente grande al variar sobre todas las curvas de género uno $C_{/K}$ incluso con una curva elíptica Jacobiana fija $E$ . Para una prueba de esto - y en realidad de un resultado significativamente más general - ver el Teorema 11 en estos apuntes de clase inéditos/no publicables .