Puntos en una elipse

Question

Para una aplicación, quiero distribuir equitativamente un cierto número de puntos en el perímetro de una elipse conocida, y, para dibujarlos, necesito saber, para cada punto, el ángulo de la línea que lo une al centro de la elipse .

He aquí un dibujo horrible de lo que debo conseguir: se conoce el número de los puntos, la distancia de los puntos de la elipse es constante (o al menos debería serlo) pero se desconoce (bueno, es circunferencia/número de puntos), se conocen los radios horizontal y vertical, busco la ángulos a0-an

Ya sé que es un problema nada fácil, que no tiene una solución finita. El hecho es que no necesito la perfección en la distribución de los puntos, pero sí la rapidez en el cálculo del posicionamiento.

¿Existe una forma o una fórmula fácil que se aproxime a la solución real? ¿Algún altoritmo que permita implementarlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Para una excentricidad pequeña $e$ ,

\begin{align*} e^2 &= 1-\frac{b^2}{a^2}\\ \theta(t) &= t+\left( \frac{e^2}{8}+\frac{e^4}{16}+\frac{71e^6}{2048} \right) \sin 2t+ \left( \frac{5e^4}{256}+\frac{5e^6}{256} \right) \sin 4t+ \frac{29e^6}{6144} \sin 6t+O(e^{8}) \\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a\cos \theta(t) \\ b\sin \theta(t) \end{bmatrix} \end{align*}

el espaciamiento de la longitud del arco es aproximadamente igual para un espaciamiento uniforme de $t\in [0,2\pi]$ .

Véase también mi post más reciente aquí .

Answer 2

He aquí un sencillo algoritmo que distribuye los puntos uniformemente en una elipse:

1. Muestrear la elipse uniformemente según el ángulo utilizando la parametrización polar.

2. Sustituye cada punto por el punto medio de sus vecinos.
   Proyecta el punto medio ortohogónicamente sobre la elipse.

3. Repita el paso 2 según sea necesario.

Answer 3

Tal vez el método del paralelogramo ¿se adapta a su propósito? Aquí está en acción:

(Imagen de Usuario de Wikipedia Cmarm .)