Demostrar que esta secuencia converge casi seguramente

Question

Supongamos que $(X_n)_{n\ge1}$ es una secuencia de variables al azar independientes con $E[|X_n|] < \infty$ % todo $n$y $E(X_n) = \mu$. Demostrar que

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}X_n = \mu \; a.s$$

Estoy atrapado con esta pregunta y no está seguro de cómo hacerlo. Yo he comprobado que la suma converge absolutamente seguramente pero no estoy segura si esto es útil hacia mi objetivo.

Answer 1

Su reclamo hace que no se mantenga sin más suposiciones.

Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que podemos reemplazar $X_n$ $X_n - \mu$ y por lo tanto asumen $\mu = 0$ sin pérdida de generalidad (esto utiliza $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}= 1$).

Vamos a asumir que su afirmación es verdadera (para cualquier secuencia).

Ahora, vamos a $f := \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} X_n$. Por supuesto que su teorema es verdadero, vemos a $f \equiv 0$ casi seguramente.

Además, el conjunto $Y_1 := 2 X_1$$Y_n := X_n$$n \geq 2$. Tenga en cuenta que la secuencia de $(Y_n)_n$ también satisface los requisitos de su supuesta teorema. Por lo tanto, la variable aleatoria $g := \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} Y_n$ $0$ casi seguramente.

Pero $g = f + X_1$, lo que implica $X_1 \equiv 0$ casi seguramente. Después de renormalization, esto significa $X_1 \equiv \mu$.s. Pero es claro que uno puede encontrar ejemplos de secuencias de $(X_n)_n$ la satisfacción de sus supuestos tales que $X_1 \equiv \mu$ ¿ no contener casi seguramente.