Deje $G$ ser un grupo y $N\triangleleft G$. Mostrar que si $G/N$ $N$ son finitely presenta, a continuación, $G$ es finitely presentado.
Trabajado en este problema por alrededor de 2 horas antes de que nos tiró la toalla. Este es nuestro primer intento, que parece ser el más valiente
Deje $N=\langle x_1,\dots x_k~|~R\rangle$, e $G/N=\langle y_1N,\dots,y_lN~|~R'\rangle$ donde $|R|,|R'|<\infty$.
Ahora, $G=\langle x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l\rangle$. Deje $r'\in R'$.
$r'=(y_{i_1}N)^{m_1}(y_{i_2}N)^{m_2}\dots(y_{i_t}N)^{m_t}$
Esto es igual a$N$$G/N$, lo $y_{i_1}^{m_1}\dots y_{i_t}^{m_t}x_{j_1}^{n_1}\dots x_{j_s}^{n_s}=1$ (desde el $x_i$s generar $N$). Este no es el único, pero podemos elegir uno de estos y llamar a $r''$. A continuación, dejamos $R''=\cup r''$, y la afirmación de que $G=\langle x_1,\dots x_k,y_1,\dots,y_l~|~R\cup R''\rangle$
Ahora supongamos $H$ es un grupo, $h\colon\{x_1,\dots,x_k,y_1,\dots,y_l\}\rightarrow H$ un mapa, y $h(x_i),h(y_j)$ satisfacer todas las relaciones en $R\cup R''$.
El universal propiedad para $N$ dice que no hay un único homomorphism $\phi_1\colon N\rightarrow H$ tal que $\phi_1(x_i)=h(x_i)$ todos los $i$.
Definir $\bar{h}\colon\{y_1N,\dots,y_l N\}\rightarrow H$$\bar{h}(y_iN)=h(y_i)$. Ahora, si $r'\in R'$, $h(y_{i_1})^{m_1}\dots h(y_{i_t})^{m_t}h(x_{j_1})^{n_1}h(x_{j_s})^{n_s}=1$ $H$
No estoy seguro de lo que tengo aquí es útil. Sugerencias de bienvenida.
No creo que una prueba tan constructivo como el que he descrito podría funcionar. Claramente, a sabiendas de las presentaciones de $N$ $G/N$ no es suficiente para presentar $G$; $\mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{Z}_3$ puede construir $\mathbb{Z}_6$ o $S_3$, por lo que este enfoque puede ser significativamente fuera de la marca.
