¿Cómo puedo calcular $\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4+1}$ ?

Question

¿Cómo puedo calcular la siguiente suma? $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4+1}$$

Answer 1

Sugerencia Considere la función $f(z) = \dfrac{\pi \cot \pi z}{z^4+1}$ . Supongo que habrás visto otros ejemplos de cálculo de series con cálculo de residuos (ya que marcaste la pregunta análisis de complejos).

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Algunos detalles más. Deje que $C(z) = \pi\cot \pi z$ . Entonces $C$ es holomorfa en todas partes excepto en los números enteros, y $\newcommand{\Res}{\operatorname{Res}}\Res(C;z=n) = 1$ por cada $n \in \mathbb{Z}$ . La función $f$ tiene polos simples adicionales en los puntos donde $z^4+1=0$ .

Dejemos que $\gamma_N$ sea el cuadrado orientado positivamente con ángulos en $\pm(N+\frac12) \pm(N+\frac12)i$ . Un cálculo tedioso mostrará que $|C(z)|$ está acotado en $\gamma_N$ por una constante, que no depende de $N$ . (Si no has visto esto, intenta averiguar los detalles por ti mismo. Consulta un libro de texto si no lo consigues).

El teorema del residuo da

$$\int_{\gamma_N} f(z)\,dz = \sum_{k=-N}^N \Res(f;z=k) + \sum_{\alpha^4=-1} \Res(f;z=\alpha).$$

Dejar $N\to\infty$ terminamos con (ya que $|f|\to0$ con la suficiente rapidez en $\infty$ ):

$$0 = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{k^4+1} + \sum_{\alpha^4=-1} \Res(f;z=\alpha).$$

Lo que queda es calcular los cuatro residuos extra, y manipular un poco la serie doblemente infinita, pero como son deberes, no voy a terminar las cosas por ti.

Answer 2

En primer lugar, escribimos la suma de la siguiente forma

$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4+1} = \frac{i}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+i} -\frac{i}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2-i}\quad i=\sqrt{-1}, $$

A continuación, utilizamos el resultado

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2+a^2} =\frac{\pi}{a} \frac{e^{2a\pi}}{e^{2a\pi}-1} \,. $$

Answer 3

$$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}..$$ $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4+1}=\zeta(4)-\zeta(8)+\zeta(12)-\zeta(16)+\zeta(20)...$$ $$\frac{\pi t}{e^{2\pi t}-1}-\frac{1}{2}+\frac{\pi t}{2} = \zeta(2) t^2 - \zeta(4) t^4 + \zeta(6) t^6 - \zeta(8)t^8+\zeta(10)t^{10}\cdots.$$ $$\frac{\pi ti}{e^{2\pi t i}-1}-\frac{1}{2}+\frac{\pi t i}{2} = -\zeta(2) t^2 - \zeta(4) t^4 -\zeta(6) t^6 -\zeta(8)t^8-\zeta(10)t^{10} \cdots.$$ $$\frac{\pi ti}{e^{2\pi t i}-1}-\frac{1}{2}+\frac{\pi t i}{2} +\frac{\pi t}{e^{2\pi t}-1}-\frac{1}{2}+\frac{\pi t}{2}=-2( \zeta(4)t^4+\zeta(8)t^8+\zeta(12)t^{12}+\zeta(16)t^{16}..)$$

Creo que puedes averiguar el resto...

Answer 4

Creo que:

Si sabemos $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4-a^4} = \frac{1}{2a^2}-\frac{\pi}{4 a^3}(\cot \pi a+\coth \pi a)$$ Entonces, con $a = \sqrt[4]{-1}$ : $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4+1} \approx 0.57847757966713683831802219...$$ ¿Verdad?

Answer 5

Basta con aplicar la fórmula de suma de Poisson. Dado que la distribución de Cauchy y la distribución de Laplace se conjugan mediante la transformada de Fourier, una simple descomposición parcial de la fracción garantiza

$$ \mathscr{F}\left(\frac{1}{1+x^4}\right)(s) =\frac{\pi}{\sqrt{2}}e^{-\pi\sqrt{2}|s|}(\cos+\sin)(\pi\sqrt{2}|s|)$$ por tanto, sumando la parte real e imaginaria de una serie geométrica $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{1+n^4}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot\frac{(b-a)+ab(a+b)}{a^2+b^2} $$ donde $a=\cot\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ y $b=\coth\frac{\pi}{\sqrt{2}}$ .