Desigualdad; cuando cambiamos de signos? De básico a complicado

Question

Digamos que tengo

$$a > b$$

Ahora sabemos que el signo de la desigualdad va a cambiar si:

1. Hemos de tomar el recíproco de ambos lados

2. Multiplicar $-1$ a ambos lados.

Pero, ¿hay más? Lo que si podemos hacer más "complicado" de las cosas?

Va a cambiar si puedo aplicar trigonométricas inversas? Por ejemplo, ¿es cierto, entonces si

$$\arccos(a) > \arccos(b)$$

Tenga en cuenta que $a,b \in\mathbb R$.

Así que lo que yo realmente quiero preguntar es, ¿hay otras operaciones que podrían hacer cambiar la desigualdad de los signos?

Answer 1

No es del todo cierto que cuando usted toma los recíprocos de ambos lados, de cambiar "$\lt$ ""$\gt$ " y vice-versa. Si $a$ $b$ son positivos o si son ambas negativas, y $a<b$,$1/a>1/b$. Pero si uno es positivo y el otro negativo, y $a<b$ (lo que significa que $a$ debe ser el que es negativo), a continuación,$1/a<1/b$; la dirección no consigue revertir.

Generalmente si $a<b$ $g$ es estrictamente decreciente de la función, a continuación,$g(a)>g(b)$. De hecho esa es la definición del concepto de "estrictamente función decreciente". Así que el hecho de que, cuando se multiplica por un número negativo, invertir la desigualdad de la relación, es lo mismo que decir que la multiplicación por un número negativo es estrictamente una función decreciente. Por ejemplo, si $g(x) = -5x$ para todos los valores de $x$, $g$ es estrictamente una función decreciente. Si $g(x)=1/x$, entonces la restricción de $g$ a los números positivos es estrictamente una función decreciente, y la restricción de $g$ a de los números negativos es estrictamente una función decreciente, sino $g$, en todo su dominio, no es estrictamente una función decreciente.

$\arccos$ es estrictamente una función decreciente: a medida que un número de aumentos de$-1$$1$, su arcocoseno disminuye, es decir, si $a<b$,$\arccos a>\arccos b$.

Una cosa que le dirá que una función es estrictamente decreciente se que es derivado está en todas partes negativas y su dominio no tiene lagunas. El recíproco de la función tiene una todas partes negativos derivados, pero su dominio tiene una brecha en $0$.

Answer 2

1. La multiplicación por números negativos voltea las desigualdades. La multiplicación por números positivos aspectos de las desigualdades.

   Si $a\lt b$$c\lt 0$,$ac\gt bc$; si $d\gt 0$,$ad\lt bd$.

2. Usted puede deducir el caso de los recíprocos (que es más complicado de lo que escribió) a partir de este.

   Si $0\lt a\lt b$, luego multiplicando por $\frac{1}{ab}$ (que es positivo) da $\frac{a}{ab} \lt \frac{b}{ab}$, que los rendimientos de $\frac{1}{b}\lt \frac{1}{a}$; es decir, un "voltear la desigualdad".

   Si $a\lt b \lt 0$, luego multiplicando por $\frac{1}{ab}$ (que también es positivo, ya que $a$ $b$ son negativos) de nuevo los rendimientos $\frac{1}{b}\lt \frac{1}{a}$.

   Si $a\lt 0 \lt b$, luego multiplicando por $\frac{1}{ab}$ (que es negativo) los rendimientos $$\frac{a}{ab}\gt \frac{b}{ab}$$ o $\frac{1}{b}\gt \frac{1}{a}$; es decir, la desigualdad es no "vuelco".

3. Una función de $f$ es estrictamente creciente si $a\lt b$, tanto en el dominio de $f$, implica $f(a)\lt f(b)$. Ejemplos de funciones crecientes son $f(x)=x^3$, $f(x)=\arctan(x)$, $f(x)=e^x$, $f(x)=\log(x)$. Una función de $f$ es creciente si $a\lt b$, tanto en el dominio de $f$, implica $f(a)\leq f(b)$.

   Simétricamente, una función de $f$ es estrictamente decreciente si $a\lt b$, y tanto en el dominio implican $f(a)\gt f(b)$; y la disminución de la si $a\lt b$, y tanto en el dominio implica $f(a)\geq f(b)$.

   También se puede deducir que la mayoría de los caso de los recíprocos de esto: $f(x)=\frac{1}{x}$ es estrictamente decreciente en el positivo de reales, así que si $0\lt a \lt b$, luego $f(a)\gt f(b)$; $g(x)=\frac{1}{x}$ es estrictamente decreciente en los números negativos, por lo que si $a\lt b\lt 0$,$g(a)\gt g(b)$. Pero el caso de $a\lt 0\lt b$ tiene que ser tratada por separado de todos modos.