Encontrar polinomios $p_n$ en $[0,1]$ con la integral $=3$ y converge puntualmente a $0$

Question

Demostrar que existe una secuencia de polinomios $\{p_{n}\}$ tal que $p_{n} \to 0$ en punto a $[0,1]$ pero de manera que $$\int_{0}^{1}p_{n}(x)dx=3.$$

Mi opinión : Estaba pensando en trabajar con una seuqencia de funciones que tiene límites puntuales a igual $0$ pero la integral para igualar $3$ . Y luego usando el teorema de aproximación de Weiestrass para decir que hay un $p_n$ que se aproximen a las funciones. No se me ocurren las funciones que podrían funcionar.

Answer 1

Toma $p_n(x) = 3x^n(1-x)(n^2+3n+2)$ . Cada $\displaystyle\int_0^1p_n = 3$ y $\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_n(x) = 0$ para $x \in [0,1]$ .

Answer 2

Comprueba las siguientes obras:

$$p_n(x)=3(n+1)(1-x)^n$$

Obsérvese que la secuencia de polinomios anterior no converge a cero cuando $\;x=0\;$

Answer 3

Ya que conoces el teorema de aproximación de Weiestrass, intenta utilizar la siguiente secuencia de funciones continuas:

$$f_n(x) = \max \{ 0, 3n(1-n|x-2/n|)\}.$$

Tenga en cuenta que $f_n$ tiene un pico en $2/n$ y está a cero de $[1/n, 3/n]$ .

Sospecho que una construcción explícita como la de la otra respuesta también funciona.