Demostrando que la serie $\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k \ln k}$ diverge?

Question

No sé cómo mostrar esto. Los términos van a cero, y realmente no puedo mostrar que los términos dominan $\frac{1}{k}$ (una serie con estos términos diverge). ¿Alguna otra idea?

Answer 1

Sea $k\geq 2$ y que $x \in [k,k+1[$ . Desde $\displaystyle x \rightarrow \frac{1}{x\ln x}$ es una función decreciente, se puede escribir $$ \frac{1}{x\ln x} \leq \frac{1}{k\ln k}, $$ integrando $$ \int_k^{k+1}\frac{1}{x\ln x}dx \leq \int_k^{k+1}\frac{1}{k\ln k} dx=\frac{1}{k\ln k} $$ y sumando a partir de $k=2$ a $N-1\geq2$ se obtiene $$ \int_2^N \frac{1}{x\ln x} dx \leq \sum_{k=2}^{N}\frac{1}{k\ln k} $$ así $$ \int_2^N \frac{1}{x\ln x} dx =\int_2^N \frac{(\ln x)'}{(\ln x)} dx = \log(\log(N))-\log( \log 2)\leq \sum_{k=2}^{N}\frac{1}{k\ln k} $$ y dejando $N$ tienden a $+\infty$ da la divergencia de la serie.

Answer 2

Si usted se refiere Walter Rudin, Principios de Análisis Matemático, hay un teorema:

Si $ x_i $ es una secuencia no negativa monótona no creciente, entonces

$$\sum_{k=1}^{\infty}x_k \mbox{ converges} \iff \sum_{k=1}^{\infty}2^kx_{2^k} \mbox{ converges}$$

Answer 3

Comparar con la integral $\int \frac{dx}{x \log x}$ porque el sumando es una función monótona decreciente. ¿Qué se obtiene?

Answer 4

Se trata de un Serie Bertrand .

Las series Bertrand son del tipo $\sum\limits_{k=2}^n\dfrac{1}{n^\alpha\ln(n)^\beta}$ .

Si $\alpha=1$ y $\beta\leq1$ entonces la serie diverge.