Se sabe que existe una biyección entre $\mathbb{I}$ y $\mathbb{I}^2$ (vamos a denotar este mapa como $f$ ). Consideremos el conjunto $X_0 = \{ (0, x) \mid x \in [0, 1] \}$ (sólo un intervalo de unidades verticales en $\mathbb{I}^2$ ). Consideremos ahora el conjunto $Y_0 = f(X_0)$ .
Si es medible por Lebesgue, su medida $\lambda(Y_0)$ es cero. Prueba por contradicción: supongamos $\lambda(Y_0) = c > 0$ entonces tomamos un número contable de intervalos unitarios en $\mathbb{I}^2$ que sean $X_i = \{ (i, x) \mid x \in [0, 1] \}$ donde $i$ índices sobre números racionales en $\mathbb{I}$ y mapearlos. Todos los $Y_i$ serán disjuntos y en el supuesto de $Y_0$ siendo medibles, todos $Y_i$ deben ser mensurables y todos $\lambda(Y_i)$ debe ser igual a $c$ (no sé cómo demostrarlo, pero es algo intuitivo, ¿o no?). Dado que $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} Y_i \subset \mathbb{I}$ entonces $\lambda(\bigcup\limits_{i \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} Y_i) = \sum\limits_{i \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} c \le \lambda(\mathbb{I}) = 1$ lo cual es obviamente una contradicción.
Sin embargo, creo que es muy poco probable que tal conjunto $Y_0$ sea medible por Lebesgue, pero aún así, ¿hay alguna forma de demostrar su no mensurabilidad?
P.D. Sí, conozco el conjunto de Cantor, sólo intento construir algo yo mismo.
