Un ejemplo de conjunto incontable con medida de Lebesgue nula

Question

Se sabe que existe una biyección entre $\mathbb{I}$ y $\mathbb{I}^2$ (vamos a denotar este mapa como $f$ ). Consideremos el conjunto $X_0 = \{ (0, x) \mid x \in [0, 1] \}$ (sólo un intervalo de unidades verticales en $\mathbb{I}^2$ ). Consideremos ahora el conjunto $Y_0 = f(X_0)$ .

Si es medible por Lebesgue, su medida $\lambda(Y_0)$ es cero. Prueba por contradicción: supongamos $\lambda(Y_0) = c > 0$ entonces tomamos un número contable de intervalos unitarios en $\mathbb{I}^2$ que sean $X_i = \{ (i, x) \mid x \in [0, 1] \}$ donde $i$ índices sobre números racionales en $\mathbb{I}$ y mapearlos. Todos los $Y_i$ serán disjuntos y en el supuesto de $Y_0$ siendo medibles, todos $Y_i$ deben ser mensurables y todos $\lambda(Y_i)$ debe ser igual a $c$ (no sé cómo demostrarlo, pero es algo intuitivo, ¿o no?). Dado que $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} Y_i \subset \mathbb{I}$ entonces $\lambda(\bigcup\limits_{i \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} Y_i) = \sum\limits_{i \in \mathbb{Q} \cap \mathbb{I}} c \le \lambda(\mathbb{I}) = 1$ lo cual es obviamente una contradicción.

Sin embargo, creo que es muy poco probable que tal conjunto $Y_0$ sea medible por Lebesgue, pero aún así, ¿hay alguna forma de demostrar su no mensurabilidad?

P.D. Sí, conozco el conjunto de Cantor, sólo intento construir algo yo mismo.

Answer 1

¿Y si $f$ mapas $X_0$ homeomórficamente a $\left[0,\frac12\right]$ y $\Bbb I^2\setminus X_0$ biyectivamente a $\left(\frac12,1\right]$ ?

Añadido: Es muy posible que $f$ mapea algunos de los verticales $\{x\}\times\Bbb I$ a conjuntos medibles de diferentes medidas y otros a conjuntos no medibles. Por ejemplo, $f$ mapa posible $X_0$ homeomórficamente en $\left[0,\frac12\right]$ (de medida $1/2$ ), $\left\{\frac12\right\}\times\Bbb I$ homeomórficamente en $\left[\frac34,1\right]$ (de medida $1/4$ ), y (asumiendo el axioma de elección) el resto de $\Bbb I^2$ biyectivamente a $\left(\frac12,\frac34\right)$ de tal manera que ninguna otra vertical $\{x\}\times\Bbb I$ mapea a un conjunto medible en absoluto.

El comportamiento de $f$ en una vertical no dice nada sobre su comportamiento en otra (salvo que las imágenes tienen que ser disjuntas, por supuesto, y las medidas de cualquier imagen medible no pueden sumar más que $1$ ).

Answer 2

Otra posibilidad es $b\in\Bbb R$ . Entonces $\{b\}\times\Bbb R$ es el subconjunto cero de $\Bbb R^2$ . Ver 1. aquí para ver por qué.