Pruebalo $\frac{ab}{a+b} + \frac{cd}{c+d} \leq \frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}$

Question

Intenté aplicar la desigualdad amgm a lhs e intenté encontrar el límite superior para lhs y el límite inferior para rhs pero no estoy recibiendo respuesta.

Answer 1

No es una prueba hermosa que tengo que admitir, pero es una prueba:

Multiplique 2 lados de la ecuación con$(a+b)(c+d)(a+b+c+d)$, llegamos a la forma equivalente: $$ ab (c d) (a b c d) cd (a b) d) \ leq (a c) (b d) (a b) (c d). $ Calcula ambos lados de la ecuación anterior para reducirla a la siguiente forma equivalente: $$ 2abcd \ leq a ^ 2d ^ 2 b ^ 2c ^ 2, $$ que obviamente es verdad debido a la desigualdad AM-GM.

Answer 2

Por CS obtenemos:$$\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}=a+c+\left(\frac{ab}{a+b}-a\right)+\left(\frac{cd}{c+d}-c\right)=$ $$$=a+c-\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{c^2}{c+d}\right)\leq a+c-\frac{(a+c)^2}{a+b+c+d}=\frac{(a+c)(b+d)}{a+b+c+d}.$ $ Hecho!

Answer 3

Supongo que$a,b,c,d$ son$>0$. Una idea es poner$$F(x)=\frac{(x+c)(b+d)}{x+b+c+d}-\frac{xb}{x+b}-\frac{cd}{c+d}$ $ y calcular la derivada:$$F^{\prime}(x)=\frac{(b+d)^2}{(x+b+c+d)^2}-\frac{b^2}{(x+b)^2}$ $

Esto demuestra que se obtiene el mínimo de$F$ on$]0,+\infty[$ para$x=bc/d$, y para terminar tiene que calcular este mínimo.