Equivalencia entre la "ruina del jugador" y juego aparentemente diferente

Question

Mi pregunta se refiere a dos experimentos con diferentes reglas, pero con las mismas probabilidades. Me preguntaba, es que hay una explicación intuitiva de esta igualdad, o es que es una coincidencia?

Supongamos que, cuando Alice y Bob jugar al ajedrez, Alicia gana con probabilidad de $p$ independientemente de los anteriores juegos.

Juego 1: Alice y Bob empezar con $n$ dólares cada uno. Que juego de ajedrez más y más. Cada vez, el perdedor paga el ganador de un dólar, hasta que a alguien se le acabe el dinero.

Deje $q=1-p$. Utilizando el clásico jugador de la ruina de la fórmula, $$ P(\text{Alicia gana el Juego 1}) = \frac{1-(\frac{q}p)^n}{1-(\frac{q}p)^{2n}} = \frac{1}{1+(\frac{q}p)^n} = \frac{p^n}{p^n+x^n} $$

Juego 2: Alice y Bob play $n$ juegos de ajedrez. Si uno de ellos gana todos los $n$ juegos, de inmediato ganar la serie. De lo contrario, se repite, jugar con los bloques de $n$ juegos hasta que alguien gane todos ellos.

Obviamente, $$ P(\text{Alicia gana el Juego 2}) = \frac{p^n}{p^n+x^n} $$

Answer 1

La probabilidad de que Alice gane cada juego en un bloque es$p^n$ y la probabilidad de que ninguno gane cada juego en un bloque es$1-(p^n + q^n)$. Sea$\tau$ la probabilidad de que Alicia eventualmente gane cada juego en un bloque. Puesto que cada bloque de juegos es independiente, tenemos $$ \ tau = p ^ n (1- (p ^ n q ^ n)) \ tau, $ $ $ $ $ $ $