Demostrar que existe $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}$ y determinar su valor

Question

Dejemos que $f:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ sea una función creciente, tal que $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^{2}}\cdot \int_{0}^{x}f(t)dt=1$ .

Demostrar que existe $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}$ y calcular este límite.

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Si $f$ sería continua, tendríamos $1=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x^{2}}\cdot \int_{0}^{x}f(t)dt=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{2x}$ Por lo tanto $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}=2.$
Pero no sabemos si $f$ es continua o no, y no fui capaz de encontrar ninguna otra idea.

Answer 1

Supongamos que $x=n$ es un número entero. En el teorema de Stolz-Cesaro , $$\begin{eqnarray} 1&=&\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\int_0^xf(t)dt}{x^2}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\int_0^nf(t)dt}{n^2}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\int_n^{n+1}f(t)dt}{(n+1)^2-n^2}\\ &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\int_n^{n+1}f(t)dt}{2n+1}=\frac12\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\int_n^{n+1}f(t)dt}{n} \end{eqnarray}$$ y por lo tanto $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\int_n^{n+1}f(t)dt}{n}=2$$ Desde $f(t)$ es creciente, se tiene $$f(n)\le\int_n^{n+1}f(t)dt\le f(n+1)$$ y por lo tanto $$\frac{f(n)}{n}\le\frac{\int_n^{n+1}f(t)dt}{n}\le \frac{f(n+1)}{n+1}\frac{n+1}{n}\le \frac{f(n+1)}{n+1}.$$ Dejar $n\to\infty$ se obtiene $$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{f(n)}{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\int_{n}^{n+1}f(t)dt}{n}=2.$$ En general $x>0$ , dejemos que $\lfloor x\rfloor=n$ y luego $$n\le x<n+1.$$ Desde $f(t)$ es creciente, se tiene $$f(n)\le f(x)\le f(n+1)$$ y por lo tanto $$\frac{f(n)}{n+1}\le \frac{f(x)}{x}\le \frac{f(n+1)}{x}\le\frac{f(n+1)}{n}.$$ Por el Teorema del Apretón, se tiene $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}=2.$$