Funcional de la ecuación: $f(2x)=f(x)+f^{-1}(x)$

Question

He estado trabajando para encontrar soluciones a la ecuación funcional $$f(2x)=f(x)+f^{-1}(x)$$ $$f:\mathbb R^+\to \mathbb R$$ Hasta ahora he encontrado la solución trivial $$f(x)=x$$ y, por mera suerte, me encontré con la solución $$f(x)=\ln(e^x-1)$$ Pero no sé cómo ir después de este problema estratégico sin el uso de "adivinar y comprobar". Puede alguien encontrar otras soluciones, o muéstrame cómo podría encontrar la segunda solución que he mencionado analíticamente, sin apenas tener suerte y pasando a través de ella?

Gracias!

Answer 1

Según lo solicitado por Gregory, aquí está la prueba de que la única solución analítica en un barrio de $0$$x$$-x$.

La reorganización y la aplicación de $f$ a ambos lados, obtenemos la ecuación funcional $$ f(f(2x) - f(x)) = x \tag{1}$$ Tomando $x=0$ (suponiendo que ésta está en el dominio), llegamos a la $f(0) = 0$. Si $f$ es diferenciable en a $0$, diferenciando ambos lados de (1) en $x=0$ da $f'(0)^2 = 1$, lo $f'(0)= \pm 1$.

Ahora supongamos $f$ es una solución de (1) es analítica en un barrio de $0$$f'(0) = 1$. Si $f(x)$ no $x$, existen algunos entero $m > 1$ y constante $a \ne 0$ tal que $f(x) = x + a x^m + O(x^{m+1})$. A continuación, el lado izquierdo de (1) es $f(x + (2^m-1) a x^m) = x + 2^m a x^m + O(x^{m+1})$

De manera similar para el caso de $f'(0)=-1$.

Answer 2

Tal vez de conectar $x=f(x)$ puede ayudar. $f^{-1}(f(x))=x$

$f(2f(x))=f(f(x))+x$ $ \implies 2f^{'}(x)f^{'}(2f(x))=f^{'}(x)f^{'}(f(x))+1$