Cómo evaluar la suma : $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^4+1/4}$

Question

He estado tratando de averiguar cómo evaluar de la siguiente suma: $$S_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k^4+1/4}$$

En el problema, el valor de $S_{10}$ fue dado como $\frac{220}{221}$.

He tratado de descomposición parcial, no se a donde voy. La serie sólo parece telescopios, de lo contrario no hay otra manera.

Cualquier idea se agradece!

Answer 1

Por Sophie Germain de la identidad $$ 4k^4+1 = (2k^2+2k+1)(2k^2-2k+1) \tag{A}$$ por lo tanto $$ \frac{1}{2k^2-2k+1}-\frac{1}{2k^2+2k+1} = \frac{4k}{4k^4+1} = \frac{k}{k^4+1/4}\tag{B} $$ y podemos observar que mediante el establecimiento $p(x)=2x^2-2x+1$ tenemos $p(x+1)=2x^2+2x+1$.
En particular $$ \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^4+1/4}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{p(k)}-\frac{1}{p(k+1)}\right) = \frac{1}{p(1)}-\frac{1}{p(n+1)}=1-\frac{1}{2n^2+2n+1} $$ es igual a $\frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}$ cualquier $n\geq 1$.

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Telescópica no es estrictamente necesario para ser capaz de calcular el valor de series similares. Por ejemplo $$ \sum_{k\geq 0}\frac{1}{k^4+4} = \frac{\pi\cos\pi+\sinh\pi}{8\sinh\pi}, $$ pero esta es una historia diferente, relacionado con Weierstrass productos, la distribución de Poisson suma de la fórmula o de la (inversa) de la transformada de Laplace.

Answer 2

Tratar de romper el denominador en producto de dos factores:

$$\begin{align} 4k^4 + 1 &= (2k^2)^2 + 1 + 2 (2k^2) - 2 (2k^2) \\ &= (2k^2 +1)^2 - (2k)^2 \\ &= (2k^2 +2k +1)(2k^2 -2k+1) \end{align}$$

Mediante esto podemos ver que el término general como:

$$T_k = \dfrac{1}{2k^2-2k+1} - \dfrac{1}{2k^2+2k+1} \\ T_{k+1} = \dfrac{1}{2k^2+2k+1} - \dfrac{1}{2(k+1)^2+2(k+1)+1} $$

Alternativa términos cancelar y la suma de los telescopios:

$$1-\frac{1}{2n^2+2n+1}$$

Answer 3

Las soluciones por Jack d'Aurizio y samjoe sin duda son óptimas, pero me preguntaba si se podría descubrir una solución, incluso si uno no estaban tan inteligente como para ver el (Sophie Germain) factorización. Aquí están los valores de$S_n = \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^4+1/4}$$n \le 15$: $$\frac{4}{5},\frac{12}{13},\frac{24}{25},\frac{40}{41},\frac{60}{61},\frac{84}{85}, \frac{112}{113},\frac{144}{145},\frac{180}{181},\frac{220}{221},\frac{264}{265},\frac{ 312}{313},\frac{364}{365},\frac{420}{421},\frac{480}{481}. $$ Uno se percata de que los numeradores son divisibles por 4; dividir por 4, uno reconoce la secuencia de números triangulares, $t_n = n(n+1)/2$. Así, uno puede adivinar que $S_n = \frac{4 t_n}{4 t_n + 1}$. A continuación, puede probar esta conjetura por inducción. La inducción paso requiere que se acredite la identidad $$\frac{4 t_n}{4 t_n + 1} + \frac{4(n+1)}{4(n+1)^4 + 1} = \frac{4 t_{n+1}}{4 t_{n+1} + 1},$$ o, equivalentemente, $$\frac{4(n+1)}{4(n+1)^4 + 1} = \frac{4 t_{n+1}}{4 t_{n+1} + 1} -\frac{4 t_n}{4 t_n + 1}.$$ Es sencillo comprobar esto mediante la simplificación de los RHS, y en el curso de este, se descubre la Sophie Germain de la factorización.