Hay una infinidad de números primos con dígitos sumas de la forma $n^2+1$?

Question

La motivación para esta pregunta es de uno de los bien conocidos Problemas de Landau que solicita la prueba de la declaración:

Hay una infinidad de números primos $p$ tal que $p − 1$ es un cuadrado perfecto? En otras palabras: hay una infinidad de números primos de la forma $n^2 + 1$.

Pero esto no es lo que estoy pidiendo. Antes de que me pregunte a mi pregunta me explico el escenario.

Un primer $p$ se llama $\color{blue}{\text{Nice prime}} \ $si la suma de sus dígitos es de la forma$n^2+1$$37\rightarrow 3+7=3^2+1$ . Los números primos suma de cuyos dígitos es de la forma $n^2$ (por ejemplo,$31\rightarrow 4=2^2$) o $n^2-1$ (por ejemplo,$71\rightarrow 8=3^2-1$) se llama Casi Agradable números primos.

La pregunta es ¿hay infinitamente muchos buenos números primos?

Ahora, traté de encontrar Agradable y Casi Agradable de los números primos con la mano hasta que $400$ y aquí es lo que tengo:

Agradable de los números primos son:

$5,11,19,23,37,41,73,89,101,109,113,127,131,163,179,181,197,271,307,311,359,373$.

Mientras que Casi Agradable de los números primos son:

$n^2\rightarrow 1,3,31,79,97,103,211,277,367,349$

$n^2-1\rightarrow 3,17,53,71,107,233,251$

Hay una razón por la que me llama números primos cuya suma de dígitos es de la forma $n^2$ $n^2-1$ Casi agradable números primos.

Si usted tiene Casi un Agradable Primos de la forma$n^2-1$, a continuación, la adición de $2\times10^k$ a (aquí $k$ es el más alto poder de $10$ en decimal expansión de $n^2-1$) le dará un Buen primer si es un prime (por esto me refiero a $n^2-1+2\times10^k$). En una manera similar, si un prime $p$ es Casi una Bonita flor de la forma $n^2$ si $n^2+10^k$ es un primo, entonces será un Buen primer.

Pero la introducción de Casi Agradable prime no es muy útil ya que tenemos que asegurarnos de que $\text{Almost Nice prime (of the form $n^2$)}+10^k$ $\text{or Almost Nice prime (of the form $n^2-1$)+$2\times10^k$}$ es un primer antes de concluir que se reunió nuestro Buen primer criterios.

Ya que el post es largo, vuelvo a recordarles la pregunta. Hay infinitamente muchos buenos números primos?

Gracias.

Answer 1

Incluso el conjunto de enteros positivos con la suma de dígitos $101$, sólo con los dígitos $0$ $1$ y terminando con un $1$, contiene $$\binom{n-2}{99}$$ $$n-números de dos dígitos.

Esto significa, que tenemos , por ejemplo, acerca de la $\large \color\red {10^{438}}$ números con un millón de dígitos en el conjunto. Muchos de ellos deben ser los números primos, ya que comparten ningún factor común.

Si $n$ aumenta, el coeficiente binomial crece mucho más rápido que $n$ sí. Así que hay una abrumadora evidencia estadística de que una cantidad infinita de niza de los números primos existen.

Por supuesto, tal evidencia no es prueba.