Ayuda para las pruebas de geometría de la escuela secundaria

Question

Necesito ayuda con una prueba de geometría de secundaria. Creo que he averiguado por qué la pregunta es cierta, pero el intento de prueba que he hecho parece muy poco elegante. ¿Hay algún método más fácil que me esté perdiendo?

Consideremos dos circunferencias con la segunda internamente tangente a la primera en el punto $A$ y también pasando por el centro de la primera. Demostrar que toda cuerda del primer círculo que tiene $A$ como punto final es bisecado por el segundo círculo.

Mi intento de prueba:

Sea cualquier cuerda del primer círculo que tenga $A$ como punto final. Dejemos que el otro punto final de la cuerda se llame $B$ .

Entonces, que se dibujen los siguientes segmentos de línea:

• Un segmento que conecta $A$ y el centro del primer círculo $C$ ;
• Un segmento que conecta $B$ y el centro del primer círculo $C$ y
• Un segmento que conecta el centro del primer círculo $C$ con el punto $I$ donde la cuerda interseca el segundo círculo.

Segmentos $AC$ y $BC$ tienen la misma longitud porque ambos representan el radio del primer círculo.

Tenemos dos triángulos rectos $ACI$ y $BCI$ . Como las dos hipotenusas $AC$ y $BC$ tienen la misma longitud y las dos alturas $CI$ tienen la misma longitud, entonces las dos bases $AI$ y $BI$ también debe tener la misma longitud. Como $AI$ es la mitad de la longitud de la cuerda, el segundo círculo biseca la cuerda.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Otra prueba: Como tanto CI como BD son perpendiculares a AB, CI es paralelo a BD. El hecho de que C sea el punto medio de AD implica que I es el punto medio de AB.

Answer 2

Desde el punto de tangencia $A$ , amplía el círculo pequeño de tal manera que $$\text{The small circle} \rightarrow ^{\text{gets mapped to}} \text{The circle twice as big}$$

Como la dilatación es de factor dos, QED.

Aunque lo que he dicho es una mera reafirmación de lo que otros dijeron antes, la idea de la dilatación, llamada Homothety en general es una herramienta útil para la Geometría Euclediana (compruebe, por ejemplo, la prueba de la existencia del círculo de Nueve Puntos)

Answer 3

Otra prueba es tomar el centro de los círculos siendo $C$ (el más grande), $D$ el más pequeño, el punto de intersección $I$ para el círculo mayor y $J$ para los más pequeños.

Tenemos que los triángulos $ADJ$ y $ACI$ son semejantes ya que tienen ángulos congruentes (que es porque son isósceles y comparten un ángulo (del cateto). También tenemos que $AD$ es la mitad de $AC$ lo que implica que $AJ$ es la mitad de $AI$ .

Sabemos que $D$ está en $AC$ porque si no fuera así tendríamos que $ADC$ formarían un triángulo propio y tendríamos que el triángulo menor no es tangente al mayor. También tenemos que $D$ es el punto medio o de lo contrario el círculo más pequeño no pasaría por $C$ .

Answer 4

Creo que los dos hechos siguientes dan algunas pistas.

1. En un círculo las cuerdas, basadas en arcos de la misma longitud son de la misma longitud
2. Los arcos del mismo ángulo son proporcionales al radio del círculo.

Esto le da inmediatamente $2AI=AB$ ya que se trata de cuerdas en los arcos del mismo ángulo en círculos con relación de radio de $1:2$ .

Answer 5

He aquí una forma algebraica. Sea $r$ sea el radio del círculo pequeño y $R$ sea el radio del círculo grande. Es obvio que $R=2r$ . Ahora, dejemos que $AB$ sea la cuerda del círculo pequeño y $AC$ sea la cuerda del gran círculo. Sea el punto $A$ sea el centro de coordenadas $(0,0)$ , punto $B(x_1,y_1)$ , y señalar $C(x_2,y_2)$ . La ecuación del círculo pequeño es \begin{align} x_1^2+(y_1-r)^2&=r^2\\ x_1^2+y_1^2&=2ry_1\tag1 \end{align} La ecuación del gran círculo es \begin{align} x_2^2+(y_2-2r)^2&=4r^2\\ x_2^2+y_2^2&=4ry_2\tag2 \end{align} De $(1)$ y $(2)$ tenemos $AB^2=2ry_1$ y $AC^2=4ry_2$ . Entonces $$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{y_1}{2y_2}}$$ Es fácil darse cuenta de que $\frac{y_1}{y_2}=\frac{1}{2}$ Por lo tanto $$\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$$