¿Existen álgebras de más direcciones de operación que izquierda-derecha?

Question

Nuevamente, soy un poco nuevo en la mayoría de las cosas algebraicas, solo he aprendido lo básico acerca de los grupos.

Lo poco que he aprendido sobre los grupos y sus operaciones es que una operación tiene dos argumentos, uno desde la izquierda y otro desde la derecha.

$$a\circ b = c$$

Pero ¿es significativo y posible definir estructuras algebraicas con operaciones con más de dos operandos? Como este ejemplo de tres operandos (reemplazando $\circ$ con llaves para clarificar la dirección de la operación):

$$\underset{o_2}{\underbrace{o_1}} \} o_3 = c$$

o cuatro:

$$o_4\{\underset{o_2}{\underbrace{o_1}} \} o_3 = c$$

Esta notación hará que se vuelva abarrotado en un papel 2D una vez que tengamos una cadena de muchas operaciones, pero espero que entiendas la idea. ¿Crees que algo así sería posible combinarlo con las exigencias en un grupo en algún sentido? ¿Qué significado tendría "inverso" para una construcción así? Simplemente, pares de elementos como inversos entre sí ya no tendrían sentido, ¿verdad?

Answer 1

Un objeto algebraico general es un conjunto $X$ junto con algunos elementos especificados

• relaciones $R_i\subseteq X^n,i\in I$,
• funciones $f_j:X^n\to X,j\in J$ y
• constantes $c_k\in X,k\in K$.

Como puedes ver, las funciones pueden tener cualquier aridad. Estas estructuras se discuten principalmente en un entorno abstracto como en teoría de modelos. Pero hay ejemplos que se utilizan en aplicaciones, por ejemplo, los anillos ternarios planares se utilizan en geometría de incidencia. Otro ejemplo que no utiliza funciones pero una relación ternaria es un orden cíclico.

---

Relacionado:

• ¿Por qué no estudiamos objetos algebraicos con más de dos operaciones?
• ¿Alguien está investigando grupos "ternarios"?

Answer 2

Si hacemos esto en dos dimensiones, como sugieres, entonces obtenemos algo que comienza a parecerse a una $2$-categoría (posiblemente con un solo objeto, es decir, una categoría monoidal).

Una forma común de describir las categorías monoidales "buenas" es en términos de diagramas, y estos diagramas pueden ser compuestos tanto horizontalmente, colocándolos uno al lado del otro (esto es el "producto tensorial" en la categoría), como verticalmente, colocando uno encima del otro (la "composición habitual" en la categoría). Por supuesto, esto tiene el problema de qué objetos pueden ser compuestos, ya que no todos necesitan ser componibles.

Para ejemplos de esto, consulta por ejemplo el documento "Cálculo de Soergel" de Elias y Williamson (esto forma la base de su documento en Annals en el que prueban la conjetura de Soergel).